Elementarmathematik Beispiele

${(2 x + 5 y)}^{5}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(2 x + 5 y)}^{5}$ gilt $n = 5$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $6$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $2 x$ und $b$ $5 y$ in den Ausdruck ein.

$1 {(2 x)}^{5} {(5 y)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(2 x)}^{5}$ mit $1$ .

${(2 x)}^{5} {(5 y)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$2^{5} x^{5} {(5 y)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.3

Potenziere $2$ mit $5$ .

$32 x^{5} {(5 y)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $5 y$ an.

$32 x^{5} (5^{0} y^{0}) + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$32 \cdot 5^{0} x^{5} y^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$32 \cdot 1 x^{5} y^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $32$ mit $1$ .

$32 x^{5} y^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$32 x^{5} \cdot 1 + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $32$ mit $1$ .

$32 x^{5} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.10

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$32 x^{5} + 5 (2^{4} x^{4}) {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.11

Potenziere $2$ mit $4$ .

$32 x^{5} + 5 (16 x^{4}) {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $16$ mit $5$ .

$32 x^{5} + 80 x^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.13

Vereinfache.

$32 x^{5} + 80 x^{4} (5 y) + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.14

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$32 x^{5} + 80 \cdot 5 x^{4} y + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $80$ mit $5$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.16

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 10 (2^{3} x^{3}) {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.17

Potenziere $2$ mit $3$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 10 (8 x^{3}) {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.18

Mutltipliziere $8$ mit $10$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 80 x^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.19

Wende die Produktregel auf $5 y$ an.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 80 x^{3} (5^{2} y^{2}) + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.20

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 80 \cdot 5^{2} x^{3} y^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.21

Potenziere $5$ mit $2$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 80 \cdot 25 x^{3} y^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.22

Mutltipliziere $80$ mit $25$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.23

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 10 (2^{2} x^{2}) {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.24

Potenziere $2$ mit $2$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 10 (4 x^{2}) {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.25

Mutltipliziere $4$ mit $10$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 40 x^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.26

Wende die Produktregel auf $5 y$ an.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 40 x^{2} (5^{3} y^{3}) + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.27

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 40 \cdot 5^{3} x^{2} y^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.28

Potenziere $5$ mit $3$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 40 \cdot 125 x^{2} y^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.29

Mutltipliziere $40$ mit $125$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.30

Vereinfache.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 5 (2 x) {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.31

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 10 x {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.32

Wende die Produktregel auf $5 y$ an.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 10 x (5^{4} y^{4}) + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.33

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 10 \cdot 5^{4} x y^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.34

Potenziere $5$ mit $4$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 10 \cdot 625 x y^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.35

Mutltipliziere $10$ mit $625$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.36

Mutltipliziere ${(2 x)}^{0}$ mit $1$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.37

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 2^{0} x^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.38

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 1 x^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.39

Mutltipliziere $x^{0}$ mit $1$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + x^{0} {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.40

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 1 {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.41

Mutltipliziere ${(5 y)}^{5}$ mit $1$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + {(5 y)}^{5}$

Schritt 4.42

Wende die Produktregel auf $5 y$ an.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 5^{5} y^{5}$

Schritt 4.43

Potenziere $5$ mit $5$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 3125 y^{5}$