Elementarmathematik Beispiele

$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0$

Schritt 1

Schreibe $e^{2 x}$ als ${(e^{x})}^{2}$ um.

${(e^{x})}^{2} - 3 e^{x} + 2 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = e^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $e^{x}$ .

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} - 3 u + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $e^{x}$ .

$(e^{x} - 2) (e^{x} - 1) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

$e^{x} - 1 = 0$

Schritt 6

Setze $e^{x} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $e^{x} - 2$ gleich $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

Schritt 6.2

Löse $e^{x} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x} = 2$

Schritt 6.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Schritt 6.2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 6.2.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Schritt 6.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Schritt 6.2.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (2)$

Schritt 7

Setze $e^{x} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $e^{x} - 1$ gleich $0$ .

$e^{x} - 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $e^{x} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x} = 1$

Schritt 7.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Schritt 7.2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 7.2.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Schritt 7.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Schritt 7.2.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (1)$

Schritt 7.2.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(e^{x} - 2) (e^{x} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \ln (2), 0$