Elementarmathematik Beispiele

$p (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$

Schritt 1

Setze $x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$ gleich $0$ .

$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{3} + 2 x^{2}) - 4 x - 8 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x + 2) - 4 (x + 2) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x + 2) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x + 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 2.1.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.1.5.1

Potenziere $x + 2$ mit $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 2.1.5.2

Potenziere $x + 2$ mit $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 2.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) = 0$

Schritt 2.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.3

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse ${(x + 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = - 2$ (Vielfachheit von $2$ )

$x = 2$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - 2$ (Vielfachheit von $2$ )

$x = 2$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 3