Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} + \frac{3}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 x - 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x - 1 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x \geq 1$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{2 x - 1} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 x - 1}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x - 1}$ als ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x - 1)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Vereinfache.

$2 x - 1 = 0^{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 4.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{3}{x^{2} - 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 4 = 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 4$

Schritt 6.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 6.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 6.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 6.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 6.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 6.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(\frac{1}{2}, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > \frac{1}{2}, x \neq 2}$

Schritt 8