Elementarmathematik Beispiele

$(x + 6) (x^{2} - 16) (1 - x) < 0$

Schritt 1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

$x^{2} - 16 = 0$

$1 - x = 0$

Schritt 2

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 3

Setze $x^{2} - 16$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x^{2} - 16$ gleich $0$ .

$x^{2} - 16 = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{2} - 16 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 16$

Schritt 3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{16}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{16}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Schritt 3.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 4$

Schritt 3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4$

Schritt 3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4$

Schritt 3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 4$

Schritt 4

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 4.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 6) (x^{2} - 16) (1 - x) < 0$ wahr machen.

$x = - 6, 4, - 4, 1$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((- 8) + 6) ({(- 8)}^{2} - 16) (1 - (- 8)) < 0$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $- 864$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $- 6 < x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 6 < x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((- 5) + 6) ({(- 5)}^{2} - 16) (1 - (- 5)) < 0$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $54$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((0) + 6) ({(0)}^{2} - 16) (1 - (0)) < 0$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $- 96$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.4

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 7.4.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((2) + 6) ({(2)}^{2} - 16) (1 - (2)) < 0$

Schritt 7.4.3

Die linke Seite $96$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 7.5.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((6) + 6) ({(6)}^{2} - 16) (1 - (6)) < 0$

Schritt 7.5.3

Die linke Seite $- 1200$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 6$ oder $- 4 < x < 1$ oder $x > 4$

Schritt 9

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 6) \cup (- 4, 1) \cup (4, \infty)$

Schritt 10