Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x + 7}{x - 3} < 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 7 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 7$

$x = 3$

Schritt 5

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 7, 3$

Schritt 6

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x + 7}{x - 3}$ .

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 7}{x - 3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 3 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 7$

$- 7 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 10) + 7}{(- 10) - 3} < 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $0.\overline{230769}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 7 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 7 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) + 7}{(0) - 3} < 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $- 2.\overline{3}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(6) + 7}{(6) - 3} < 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $4.\overline{3}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 7 < x < 3$

Schritt 10

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 7, 3)$

Schritt 11