Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x - 4}{x + 11} \geq \frac{1}{x - 1}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{1}{x - 1}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x - 4}{x + 11} - \frac{1}{x - 1} \geq 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x - 4}{x + 11} - \frac{1}{x - 1}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{x - 4}{x + 11}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 4}{x + 11} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \geq 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{1}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 11}{x + 11}$ .

$\frac{x - 4}{x + 11} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 11}{x + 11} \geq 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 11) (x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{x - 4}{x + 11}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 11}{x + 11} \geq 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 1}$ mit $\frac{x + 11}{x + 11}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{x + 11}{(x - 1) (x + 11)} \geq 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x + 11)$ um.

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{x + 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 4) (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere $(x - 4) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x - 1) - 4 (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Schritt 2.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Schritt 2.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Schritt 2.5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Schritt 2.5.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Schritt 2.5.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{x^{2} - x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Schritt 2.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x - 4 x + 4 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $4 x$ von $- x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Schritt 2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x - 1 \cdot 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x - 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Schritt 2.5.5

Subtrahiere $x$ von $- 5 x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 4 - 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Schritt 2.5.6

Subtrahiere $11$ von $4$ .

$\frac{x^{2} - 6 x - 7}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Schritt 2.5.7

Faktorisiere $x^{2} - 6 x - 7$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.5.7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 7$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 7, 1$

Schritt 2.5.7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 11 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 4

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 11$

Schritt 7

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 7$

$x = - 1$

$x = - 11$

$x = 1$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 7, - 1, - 11, 1$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)}$ .

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Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 11) (x - 1) = 0$

Schritt 10.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 11 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 10.2.2

Setze $x + 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.2.1

Setze $x + 11$ gleich $0$ .

$x + 11 = 0$

Schritt 10.2.2.2

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 11$

Schritt 10.2.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 10.2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 10.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 11) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 11, 1$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 11) \cup (- 11, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 11$

$- 11 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 11$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 11$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 14$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 14$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 14) - 4}{(- 14) + 11} \geq \frac{1}{(- 14) - 1}$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $6$ ist größer als die rechte Seite $- 0.0\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $- 11 < x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 11 < x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 6) - 4}{(- 6) + 11} \geq \frac{1}{(- 6) - 1}$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $- 2$ ist kleiner als die rechte Seite $- 0.\overline{142857}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) - 4}{(0) + 11} \geq \frac{1}{(0) - 1}$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $- 0.\overline{36}$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.4

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 12.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(4) - 4}{(4) + 11} \geq \frac{1}{(4) - 1}$

Schritt 12.4.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $0.\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 12.5.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(10) - 4}{(10) + 11} \geq \frac{1}{(10) - 1}$

Schritt 12.5.3

Die linke Seite $0.\overline{285714}$ ist größer als die rechte Seite $0.\overline{1}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 11$ Wahr

$- 11 < x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 7$ Falsch

$x > 7$ Wahr

$x < - 11$ Wahr

$- 11 < x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 7$ Falsch

$x > 7$ Wahr

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 11$ oder $- 1 \leq x < 1$ oder $x \geq 7$

Schritt 14

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 11) \cup [- 1, 1) \cup [7, \infty)$

Schritt 15