Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{3} - 50 x < x^{2} - 25$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x^{3} - 50 x - x^{2} < - 25$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{3} - 50 x - x^{2} = - 25$

Schritt 3

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} - 50 x - x^{2} + 25 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$2 x^{3} - x^{2} - 50 x + 25 = 0$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{3} - x^{2}) - 50 x + 25 = 0$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (2 x - 1) - 25 (2 x - 1) = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x^{2} - 25) = 0$

Schritt 4.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$(2 x - 1) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere.

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Schritt 4.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$(2 x - 1) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Schritt 4.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x - 1) (x + 5) (x - 5) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 6

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 7

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 8

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 1) (x + 5) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, - 5, 5$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 5$

$x > 5$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(- 8)}^{3} - 50 \cdot - 8 < {(- 8)}^{2} - 25$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $- 624$ ist kleiner als die rechte Seite $39$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(0)}^{3} - 50 \cdot 0 < {(0)}^{2} - 25$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $0$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 25$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{2} < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{2} < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(3)}^{3} - 50 \cdot 3 < {(3)}^{2} - 25$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $- 96$ ist kleiner als die rechte Seite $- 16$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(8)}^{3} - 50 \cdot 8 < {(8)}^{2} - 25$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $624$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $39$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 5$ oder $\frac{1}{2} < x < 5$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 5) \cup (\frac{1}{2}, 5)$

Schritt 14