Elementarmathematik Beispiele

$25 x^{2} + 16 y^{2} - 250 x + 128 y + 481 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $481$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 x^{2} + 16 y^{2} - 250 x + 128 y = - 481$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $25 x^{2} - 250 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 25$

$b = - 250$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 250}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 250$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 250$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 125}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 25$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 125}{2 (25)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 125}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 125}{25}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 125$ und $25$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $- 125$ heraus.

$d = \frac{25 \cdot - 5}{25}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$d = \frac{25 \cdot - 5}{25 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{25 \cdot - 5}{25 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 5}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 5$ durch $1$ .

$d = - 5$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 250)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 250$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{62500}{4 \cdot 25}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$e = 0 - \frac{62500}{100}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $62500$ durch $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 625$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $625$ .

$e = 0 - 625$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $625$ von $0$ .

$e = - 625$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $25 {(x - 5)}^{2} - 625$ ein.

$25 {(x - 5)}^{2} - 625$

Schritt 1.3

Setze $25 {(x - 5)}^{2} - 625$ für $25 x^{2} - 250 x$ ein in der Gleichung $25 x^{2} + 16 y^{2} - 250 x + 128 y = - 481$ .

$25 {(x - 5)}^{2} - 625 + 16 y^{2} + 128 y = - 481$

Schritt 1.4

Bringe $- 625$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $625$ auf beiden Seiten.

$25 {(x - 5)}^{2} + 16 y^{2} + 128 y = - 481 + 625$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $16 y^{2} + 128 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 16$

$b = 128$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{128}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $128$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $128$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 64}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 16$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 64}{2 (16)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 64}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{64}{16}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $16$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $64$ heraus.

$d = \frac{16 \cdot 4}{16}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $16$ heraus.

$d = \frac{16 \cdot 4}{16 (1)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{16 \cdot 4}{16 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$d = 4$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{128^{2}}{4 \cdot 16}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $128$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{16384}{4 \cdot 16}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$e = 0 - \frac{16384}{64}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $16384$ durch $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 256$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $256$ .

$e = 0 - 256$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $256$ von $0$ .

$e = - 256$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $16 {(y + 4)}^{2} - 256$ ein.

$16 {(y + 4)}^{2} - 256$

Schritt 1.6

Setze $16 {(y + 4)}^{2} - 256$ für $16 y^{2} + 128 y$ ein in der Gleichung $25 x^{2} + 16 y^{2} - 250 x + 128 y = - 481$ .

$25 {(x - 5)}^{2} + 16 {(y + 4)}^{2} - 256 = - 481 + 625$

Schritt 1.7

Bringe $- 256$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $256$ auf beiden Seiten.

$25 {(x - 5)}^{2} + 16 {(y + 4)}^{2} = - 481 + 625 + 256$

Schritt 1.8

Vereinfache $- 481 + 625 + 256$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $- 481$ und $625$ .

$25 {(x - 5)}^{2} + 16 {(y + 4)}^{2} = 144 + 256$

Schritt 1.8.2

Addiere $144$ und $256$ .

$25 {(x - 5)}^{2} + 16 {(y + 4)}^{2} = 400$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $400$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{25 {(x - 5)}^{2}}{400} + \frac{16 {(y + 4)}^{2}}{400} = \frac{400}{400}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{25} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 5$

$b = 4$

$k = - 4$

$h = 5$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(5, - 4)$

Schritt 5