Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{2 x + 6}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{2 y + 6}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{2 y + 6} = x$ um.

$\sqrt{2 y + 6} = x$

Schritt 2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 y + 6}}^{2} = x^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 y + 6}$ als ${(2 y + 6)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache ${({(2 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 y + 6)}^{1} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Vereinfache.

$2 y + 6 = x^{2}$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = x^{2} - 6$

Schritt 2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = x^{2} - 6$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = x^{2} - 6$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 6}{2}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 6}{2}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 6}{2}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.3.1

Dividiere $- 6$ durch $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - 3$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{2 x + 6}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{(\sqrt{2 x + 6})}^{2}}{2} - 3$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 6$ heraus.

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{\sqrt{2 (x) + 6}}^{2}}{2} - 3$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{\sqrt{2 x + 2 \cdot 3}}^{2}}{2} - 3$

Schritt 4.2.3.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 3$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{\sqrt{2 (x + 3)}}^{2}}{2} - 3$

Schritt 4.2.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{2 (x + 3)}}^{2}$ als $2 (x + 3)$ um.

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (x + 3)}$ als ${(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{({(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - 3$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - 3$

Schritt 4.2.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{2}{2}}}{2} - 3$

Schritt 4.2.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{2}{2}}}{2} - 3$

Schritt 4.2.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

Schritt 4.2.3.1.2.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

Schritt 4.2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 x + 2 \cdot 3}{2} - 3$

Schritt 4.2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 x + 6}{2} - 3$

Schritt 4.2.3.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 6$ heraus.

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Schritt 4.2.3.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x) + 6}{2} - 3$

Schritt 4.2.3.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 x + 2 \cdot 3}{2} - 3$

Schritt 4.2.3.1.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 3$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

Schritt 4.2.3.2.2

Dividiere $x + 3$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = x + 3 - 3$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 3 - 3$ .

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{2} - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 3) + 6}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\frac{x^{2}}{2} - 3) + 6$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 3) + 2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (\frac{x^{2}}{2} - 3) + 2 \cdot 3$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 3 + 3)}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 0)}$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $\frac{x^{2}}{2}$ und $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2})}$

Schritt 4.3.5

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Schritt 4.3.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 x^{2}}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Schritt 4.3.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Schritt 4.3.6.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 4.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{2 x + 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3$