Elementarmathematik Beispiele

$y = 4 e^{x - 3}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 4 e^{y - 3}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $4 e^{y - 3} = x$ um.

$4 e^{y - 3} = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 e^{y - 3} = x$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 e^{y - 3} = x$ durch $4$ .

$\frac{4 e^{y - 3}}{4} = \frac{x}{4}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 e^{y - 3}}{4} = \frac{x}{4}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $e^{y - 3}$ durch $1$ .

$e^{y - 3} = \frac{x}{4}$

Schritt 2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y - 3}) = \ln (\frac{x}{4})$

Schritt 2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.4.1

Zerlege $\ln (e^{y - 3})$ durch Herausziehen von $y - 3$ aus dem Logarithmus.

$(y - 3) \ln (e) = \ln (\frac{x}{4})$

Schritt 2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(y - 3) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{4})$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $y - 3$ mit $1$ .

$y - 3 = \ln (\frac{x}{4})$

Schritt 2.5

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \ln (\frac{x}{4}) + 3$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{4}) + 3$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{4}) + 3$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 4 e^{x - 3}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (4 e^{x - 3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 e^{x - 3}) = \ln (\frac{4 e^{x - 3}}{4}) + 3$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (4 e^{x - 3}) = \ln (\frac{4 e^{x - 3}}{4}) + 3$

Schritt 4.2.3.1.2

Dividiere $e^{x - 3}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (4 e^{x - 3}) = \ln (e^{x - 3}) + 3$

Schritt 4.2.3.2

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x - 3$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (4 e^{x - 3}) = (x - 3) \ln (e) + 3$

Schritt 4.2.3.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (4 e^{x - 3}) = (x - 3) \cdot 1 + 3$

Schritt 4.2.3.4

Mutltipliziere $x - 3$ mit $1$ .

$f^{- 1} (4 e^{x - 3}) = x - 3 + 3$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 3 + 3$ .

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} (4 e^{x - 3}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (4 e^{x - 3}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\ln (\frac{x}{4}) + 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{4}) + 3) = 4 e^{(\ln (\frac{x}{4}) + 3) - 3}$

Schritt 4.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\ln (\frac{x}{4}) + 3) - 3$ .

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Schritt 4.3.3.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (\ln (\frac{x}{4}) + 3) = 4 e^{\ln (\frac{x}{4}) + 0}$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $\ln (\frac{x}{4})$ und $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{4}) + 3) = 4 e^{\ln (\frac{x}{4})}$

Schritt 4.3.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (\frac{x}{4}) + 3) = 4 (\frac{x}{4})$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\ln (\frac{x}{4}) + 3) = 4 (\frac{x}{4})$

Schritt 4.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\ln (\frac{x}{4}) + 3) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{4}) + 3$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 4 e^{x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{4}) + 3$