Elementarmathematik Beispiele

$y = \frac{1}{2} x + 1$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{2} y + 1$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} y + 1 = x$ um.

$\frac{1}{2} y + 1 = x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y$ .

$\frac{y}{2} + 1 = x$

Schritt 2.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{2} = x - 1$

Schritt 2.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (x - 1)$

Schritt 2.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y}{2} = 2 (x - 1)$

Schritt 2.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 (x - 1)$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache $2 (x - 1)$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 2 x + 2 \cdot - 1$

Schritt 2.5.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = 2 x - 2$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 2 x - 2$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 2 x - 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{2} x + 1$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 1) = 2 (\frac{1}{2} x + 1) - 2$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 1) = 2 (\frac{x}{2} + 1) - 2$

Schritt 4.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 1) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

Schritt 4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 1) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

Schritt 4.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 1) = x + 2 \cdot 1 - 2$

Schritt 4.2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 1) = x + 2 - 2$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - 2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 1) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 1) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (2 x - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2 x - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x - 2) + 1$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (2 x - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 2 + 1$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (2 x - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot - 2 + 1$

Schritt 4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 x - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 2 + 1$

Schritt 4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 x - 2) = x + \frac{1}{2} \cdot - 2 + 1$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (2 x - 2) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

Schritt 4.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 x - 2) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

Schritt 4.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 x - 2) = x - 1 + 1$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (2 x - 2) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (2 x - 2) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 2 x - 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{2} x + 1$ .

$f^{- 1} (x) = 2 x - 2$