Elementarmathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} 12 & 23 & - 6 \\ 11 & - 8 & 13 \\ 7 & 21 & 15 \end{array}]$

Schritt 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Schritt 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

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Schritt 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

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Schritt 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 8 & 13 \\ 21 & 15 \end{array} |$

Schritt 2.1.2

Evaluate the determinant.

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Schritt 2.1.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{11} = - 8 \cdot 15 - 21 \cdot 13$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $15$ .

$a_{11} = - 120 - 21 \cdot 13$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 21$ mit $13$ .

$a_{11} = - 120 - 273$

Schritt 2.1.2.2.2

Subtrahiere $273$ von $- 120$ .

$a_{11} = - 393$

Schritt 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

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Schritt 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 11 & 13 \\ 7 & 15 \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Evaluate the determinant.

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Schritt 2.2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{12} = 11 \cdot 15 - 7 \cdot 13$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.2.1.1

Mutltipliziere $11$ mit $15$ .

$a_{12} = 165 - 7 \cdot 13$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $13$ .

$a_{12} = 165 - 91$

Schritt 2.2.2.2.2

Subtrahiere $91$ von $165$ .

$a_{12} = 74$

Schritt 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

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Schritt 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 11 & - 8 \\ 7 & 21 \end{array} |$

Schritt 2.3.2

Evaluate the determinant.

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Schritt 2.3.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{13} = 11 \cdot 21 - 7 \cdot - 8$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Mutltipliziere $11$ mit $21$ .

$a_{13} = 231 - 7 \cdot - 8$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 8$ .

$a_{13} = 231 + 56$

Schritt 2.3.2.2.2

Addiere $231$ und $56$ .

$a_{13} = 287$

Schritt 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

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Schritt 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 23 & - 6 \\ 21 & 15 \end{array} |$

Schritt 2.4.2

Evaluate the determinant.

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Schritt 2.4.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{21} = 23 \cdot 15 - 21 \cdot - 6$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Mutltipliziere $23$ mit $15$ .

$a_{21} = 345 - 21 \cdot - 6$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 21$ mit $- 6$ .

$a_{21} = 345 + 126$

Schritt 2.4.2.2.2

Addiere $345$ und $126$ .

$a_{21} = 471$

Schritt 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

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Schritt 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & - 6 \\ 7 & 15 \end{array} |$

Schritt 2.5.2

Evaluate the determinant.

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Schritt 2.5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{22} = 12 \cdot 15 - 7 \cdot - 6$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.2.1.1

Mutltipliziere $12$ mit $15$ .

$a_{22} = 180 - 7 \cdot - 6$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 6$ .

$a_{22} = 180 + 42$

Schritt 2.5.2.2.2

Addiere $180$ und $42$ .

$a_{22} = 222$

Schritt 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

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Schritt 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 23 \\ 7 & 21 \end{array} |$

Schritt 2.6.2

Evaluate the determinant.

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Schritt 2.6.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{23} = 12 \cdot 21 - 7 \cdot 23$

Schritt 2.6.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.2.2.1.1

Mutltipliziere $12$ mit $21$ .

$a_{23} = 252 - 7 \cdot 23$

Schritt 2.6.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $23$ .

$a_{23} = 252 - 161$

Schritt 2.6.2.2.2

Subtrahiere $161$ von $252$ .

$a_{23} = 91$

Schritt 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

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Schritt 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 23 & - 6 \\ - 8 & 13 \end{array} |$

Schritt 2.7.2

Evaluate the determinant.

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Schritt 2.7.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{31} = 23 \cdot 13 - (- 8 \cdot - 6)$

Schritt 2.7.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.7.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.2.2.1.1

Mutltipliziere $23$ mit $13$ .

$a_{31} = 299 - (- 8 \cdot - 6)$

Schritt 2.7.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 8 \cdot - 6)$ .

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Schritt 2.7.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 6$ .

$a_{31} = 299 - 1 \cdot 48$

Schritt 2.7.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $48$ .

$a_{31} = 299 - 48$

Schritt 2.7.2.2.2

Subtrahiere $48$ von $299$ .

$a_{31} = 251$

Schritt 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

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Schritt 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & - 6 \\ 11 & 13 \end{array} |$

Schritt 2.8.2

Evaluate the determinant.

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Schritt 2.8.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{32} = 12 \cdot 13 - 11 \cdot - 6$

Schritt 2.8.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.8.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.2.2.1.1

Mutltipliziere $12$ mit $13$ .

$a_{32} = 156 - 11 \cdot - 6$

Schritt 2.8.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 11$ mit $- 6$ .

$a_{32} = 156 + 66$

Schritt 2.8.2.2.2

Addiere $156$ und $66$ .

$a_{32} = 222$

Schritt 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

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Schritt 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 23 \\ 11 & - 8 \end{array} |$

Schritt 2.9.2

Evaluate the determinant.

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Schritt 2.9.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{33} = 12 \cdot - 8 - 11 \cdot 23$

Schritt 2.9.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.9.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.9.2.2.1.1

Mutltipliziere $12$ mit $- 8$ .

$a_{33} = - 96 - 11 \cdot 23$

Schritt 2.9.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 11$ mit $23$ .

$a_{33} = - 96 - 253$

Schritt 2.9.2.2.2

Subtrahiere $253$ von $- 96$ .

$a_{33} = - 349$

Schritt 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 393 & - 74 & 287 \\ - 471 & 222 & - 91 \\ 251 & - 222 & - 349 \end{array}]$