Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24 = 0$ um.

$x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die Terme um.

$- x^{3} + 2 x + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3} + 2 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- x \cdot x^{2} + 2 x + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Faktorisiere $- x$ aus $2 x$ heraus.

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 2 + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 1.2.2.2.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x^{2}) - x (- 2)$ heraus.

$- x (x^{2} - 2) + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 14 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 1.2.2.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- x (x^{2} - 2) + u^{2} - 14 u + 24 = 0$

Schritt 1.2.2.5

Faktorisiere $u^{2} - 14 u + 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.2.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $24$ und deren Summe $- 14$ ist.

$- 12, - 2$

Schritt 1.2.2.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- x (x^{2} - 2) + (u - 12) (u - 2) = 0$

Schritt 1.2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 1.2.2.7

Faktorisiere $x^{2} - 2$ aus $- x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2)$ heraus.

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Schritt 1.2.2.7.1

Faktorisiere $x^{2} - 2$ aus $- x (x^{2} - 2)$ heraus.

$(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 1.2.2.7.2

Faktorisiere $x^{2} - 2$ aus $(x^{2} - 12) (x^{2} - 2)$ heraus.

$(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 12) = 0$

Schritt 1.2.2.7.3

Faktorisiere $x^{2} - 2$ aus $(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 12)$ heraus.

$(x^{2} - 2) (- x + x^{2} - 12) = 0$

Schritt 1.2.2.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} - 2) (- u + u^{2} - 12) = 0$

Schritt 1.2.2.9

Faktorisiere $- u + u^{2} - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.2.9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 1.2.2.9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x^{2} - 2) ((u - 4) (u + 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.10

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} - 2) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 3) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $x^{2} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Schritt 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 1.2.4.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 1.2.4.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 1.2.6

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 3$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0), (4, 0), (- 3, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 14 \cdot 0^{2} + 2 (0) + 24$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Schritt 2.2.5

Vereinfache ${(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$ .

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Schritt 2.2.5.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 0 - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Schritt 2.2.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Schritt 2.2.5.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 0 - 14 \cdot 0 + 2 (0) + 24$

Schritt 2.2.5.1.5

Mutltipliziere $- 14$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 2 (0) + 24$

Schritt 2.2.5.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 24$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.5.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 24$

Schritt 2.2.5.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 + 24$

Schritt 2.2.5.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 24$

Schritt 2.2.5.2.4

Addiere $0$ und $24$ .

$y = 24$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 24)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0), (4, 0), (- 3, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 24)$

Schritt 4