Elementarmathematik Beispiele

$11 x^{3} + 15 x^{2} - 25 x + 7 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $11 x^{3} + 15 x^{2} - 25 x + 7$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 11$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{09}, \pm 7, \pm 0.\overline{63}$

Schritt 1.3

Setze $0.\overline{63}$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.\overline{63}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze $0.\overline{63}$ in das Polynom ein.

$11 \cdot {0.\overline{63}}^{3} + 15 \cdot {0.\overline{63}}^{2} - 25 \cdot 0.\overline{63} + 7$

Schritt 1.3.2

Potenziere $0.\overline{63}$ mit $3$ .

$11 \cdot 0.25770097 + 15 \cdot {0.\overline{63}}^{2} - 25 \cdot 0.\overline{63} + 7$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $11$ mit $0.25770097$ .

$2.83471074 + 15 \cdot {0.\overline{63}}^{2} - 25 \cdot 0.\overline{63} + 7$

Schritt 1.3.4

Potenziere $0.\overline{63}$ mit $2$ .

$2.83471074 + 15 \cdot 0.40495867 - 25 \cdot 0.\overline{63} + 7$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $15$ mit $0.40495867$ .

$2.83471074 + 6.07438016 - 25 \cdot 0.\overline{63} + 7$

Schritt 1.3.6

Addiere $2.83471074$ und $6.07438016$ .

$8.\overline{90} - 25 \cdot 0.\overline{63} + 7$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $- 25$ mit $0.\overline{63}$ .

$8.\overline{90} - 15.\overline{90} + 7$

Schritt 1.3.8

Subtrahiere $15.\overline{90}$ von $8.\overline{90}$ .

$- 7 + 7$

Schritt 1.3.9

Addiere $- 7$ und $7$ .

$0$

Schritt 1.4

Da $0.\overline{63}$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $11 x - 7$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{11 x^{3} + 15 x^{2} - 25 x + 7}{11 x - 7}$

Schritt 1.5

Dividiere $11 x^{3} + 15 x^{2} - 25 x + 7$ durch $11 x - 7$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$11 x$

$7$

$11 x^{3}$

$15 x^{2}$

$25 x$

$7$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $11 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $11 x$ .

					$x^{2}$
	$11 x$	-	$7$		$11 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	-	$25 x$	+	$7$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$11 x$	-	$7$		$11 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	-	$25 x$	+	$7$
			+	$11 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $11 x^{3} - 7 x^{2}$

				$x^{2}$
$11 x$	-	$7$		$11 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	-	$25 x$	+	$7$
			-	$11 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$11 x$	-	$7$		$11 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	-	$25 x$	+	$7$
			-	$11 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$11 x$	-	$7$		$11 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	-	$25 x$	+	$7$
			-	$11 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$25 x$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $22 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $11 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$7$		$11 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	-	$25 x$	+	$7$
			-	$11 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$25 x$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$7$		$11 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	-	$25 x$	+	$7$
			-	$11 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$25 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$14 x$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $22 x^{2} - 14 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$7$		$11 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	-	$25 x$	+	$7$
			-	$11 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$14 x$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$7$		$11 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	-	$25 x$	+	$7$
			-	$11 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$11 x$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$7$		$11 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	-	$25 x$	+	$7$
			-	$11 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$11 x$	+	$7$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 11 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $11 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$7$		$11 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	-	$25 x$	+	$7$
			-	$11 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$11 x$	+	$7$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$7$		$11 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	-	$25 x$	+	$7$
			-	$11 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$11 x$	+	$7$
							-	$11 x$	+	$7$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 11 x + 7$

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$7$		$11 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	-	$25 x$	+	$7$
			-	$11 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$11 x$	+	$7$
							+	$11 x$	-	$7$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$7$		$11 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	-	$25 x$	+	$7$
			-	$11 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$11 x$	+	$7$
							+	$11 x$	-	$7$
										$0$

Schritt 1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 2 x - 1$

Schritt 1.6

Schreibe $11 x^{3} + 15 x^{2} - 25 x + 7$ als eine Menge von Faktoren.

$(11 x - 7) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$11 x - 7 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $11 x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $11 x - 7$ gleich $0$ .

$11 x - 7 = 0$

Schritt 3.2

Löse $11 x - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$11 x = 7$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $11 x = 7$ durch $11$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $11 x = 7$ durch $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{7}{11}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11 x}{11} = \frac{7}{11}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{11}$

Schritt 4

Setze $x^{2} + 2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{2} + 2 x - 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 4.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{2}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 4.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{2}$

Schritt 4.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(11 x - 7) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{7}{11}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{7}{11}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Dezimalform:

$x = 0.\overline{63}, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$