Elementarmathematik Beispiele

$x = 2 \sin (t)$ , $y = 2 \cos (t)$

Schritt 1

Stelle die Parameterform für $x (t)$ auf, um die Gleichung nach $t$ aufzulösen.

$x = 2 \sin (t)$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $2 \sin (t) = x$ um.

$2 \sin (t) = x$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (t) = x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (t) = x$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\sin (t)$ durch $1$ .

$\sin (t) = \frac{x}{2}$

Schritt 4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Schritt 5

Ersetze $t$ in der Gleichung durch $y$ , um die Gleichung bezogen auf $x$ zu erhalten.

$y = 2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$

Schritt 6

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$

Schritt 7

Vereinfache $2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$ .

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Schritt 7.1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 7.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (\frac{x}{2})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$ $\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$y = 2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = 2 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{x}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}$

Schritt 7.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = 2 \sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}$

Schritt 7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})}$

Schritt 7.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Schritt 7.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}}$

Schritt 7.3.5

Mutltipliziere $\frac{2 + x}{2}$ mit $\frac{2 - x}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}}$

Schritt 7.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}}$

Schritt 7.4

Schreibe $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ um.

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(2 + x) (2 - x)$ heraus.

$y = 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}}$

Schritt 7.4.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$y = 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 7.4.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$y = 2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

Schritt 7.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = 2 (\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)})$

Schritt 7.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$y = 2 \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

Schritt 7.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

Schritt 7.7.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$