Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 3$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 3$ als Gleichung.

$y = 2 x^{2} + 4 x + 3$

Schritt 2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$2 x^{2} + 4 x + 3 = y$

Schritt 3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 4 x = y - 3$

Schritt 4

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 4.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = 4$

$c = 0 = y - 3$

Schritt 4.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = y - 3$

Schritt 4.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{4}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (2)}$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{2}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2}$

Schritt 4.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 4.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

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Schritt 4.4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 2$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (2)}$

Schritt 4.4.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{4}{2}$

Schritt 4.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.4.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{2}$

Schritt 4.4.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Schritt 4.4.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{2}{1}$

Schritt 4.4.2.1.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 2$

Schritt 4.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - 2$

Schritt 4.4.2.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$e = - 2$

Schritt 4.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(x + 1)}^{2} - 2$ ein.

$2 {(x + 1)}^{2} - 2 = y - 3$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 {(x + 1)}^{2} = y - 3 + 2$

Schritt 5.2

Addiere $- 3$ und $2$ .

$2 {(x + 1)}^{2} = y - 1$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $2 {(x + 1)}^{2} = y - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 {(x + 1)}^{2} = y - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 {(x + 1)}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere ${(x + 1)}^{2}$ durch $1$ .

${(x + 1)}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(x + 1)}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x + 1)}^{2} = \frac{y - 1}{2}$

Schritt 7.2

Stelle die Terme um.

${(x + 1)}^{2} = \frac{1}{2} (y - 1)$