Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 3 = 0$

Schritt 1

Um die Anzahl möglicher positiver Wurzeln zu bestimmen, betrachte die Vorzeichen der Koeffizienten und zähle, wie oft die Vorzeichen der Koeffizienten von positiv nach negativ oder von negativ nach positiv wechseln.

$f (x) = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 3$

Schritt 2

Da vom Term höchster Ordnung zum Term niedrigster Ordnung $4$ Vorzeichenwechsel erfolgen, gibt es höchstens $4$ positive Wurzeln (Vorzeichenregel von Descartes). Die anderen möglichen Anzahlen positiver Wurzeln werden bestimmt, indem Paare von Wurzeln voneinander subtrahiert werden $(4 - 2)$ .

Positive Wurzeln: $4$ , $2$ , or $0$

Schritt 3

Um die mögliche Anzahl negativer Wurzeln zu ermitteln, ersetze $x$ durch $- x$ und wiederhole den Vorzeichenvergleich.

$f (- x) = 2 {(- x)}^{4} - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 2 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Schritt 4.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- x) = 2 (1 x^{4}) - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 2 x^{4} - ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Schritt 4.5

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.1

Bewege ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{3}$ mit $- 1$ .

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Schritt 4.5.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Schritt 4.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3 + 1} x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Schritt 4.5.3

Addiere $3$ und $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{4} x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Schritt 4.6

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + 1 x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Schritt 4.8

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - 5 (- x) + 3$

Schritt 4.9

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 (1 x^{2}) - 5 (- x) + 3$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} - 5 (- x) + 3$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3$

Schritt 5

Da vom Term höchster Ordnung zum niedrigsten Term $0$ Vorzeichenwechsel erfolgen, gibt es höchstens $0$ negative Wurzeln (Vorzeichenregel von Descartes).

Negative Wurzeln: $0$

Schritt 6

Die mögliche Anzahl positiver Wurzeln ist $4$ , $2$ , or $0$ und die mögliche Anzahl negativer Wurzeln ist $0$ .

Positive Wurzeln: $4$ , $2$ , or $0$

Negative Wurzeln: $0$