Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{3 n} = n$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 n}}^{2} = n^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 n}$ als ${(3 n)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 n)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = n^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(3 n)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 n)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 n)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = n^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 n)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = n^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 n)}^{1} = n^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$3 n = n^{2}$

Schritt 3

Löse nach $n$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $n^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 n - n^{2} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Es sei $u = n$ . Ersetze $u$ für alle $n$ .

$3 u - u^{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $u$ aus $3 u - u^{2}$ heraus.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $u$ aus $3 u$ heraus.

$u \cdot 3 - u^{2} = 0$

Schritt 3.2.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$u \cdot 3 + u (- u) = 0$

Schritt 3.2.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 3 + u (- u)$ heraus.

$u (3 - u) = 0$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $n$ .

$n (3 - n) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$n = 0$

$3 - n = 0$

Schritt 3.4

Setze $n$ gleich $0$ .

$n = 0$

Schritt 3.5

Setze $3 - n$ gleich $0$ und löse nach $n$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $3 - n$ gleich $0$ .

$3 - n = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $3 - n = 0$ nach $n$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- n = - 3$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- n = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- n = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- n}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{n}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$n = 3$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $n (3 - n) = 0$ wahr machen.

$n = 0, 3$