Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{4} - 81}{x^{2} - 3 x}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{4} - 81}{x^{2} - 3 x}$ nicht definiert ist.

$x = 0, x = 3$

Schritt 2

Da $\frac{x^{4} - 81}{x^{2} - 3 x}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von links und $\frac{x^{4} - 81}{x^{2} - 3 x}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von rechts, dann ist $x = 0$ eine vertikale Asymptote.

$x = 0$

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 81}{x^{2} - 3 x}$

Schritt 6.1.1.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 9^{2}}{x^{2} - 3 x}$

Schritt 6.1.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} - 9)}{x^{2} - 3 x}$

Schritt 6.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})}{x^{2} - 3 x}$

Schritt 6.1.1.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 3 x}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 3 x$ heraus.

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Schritt 6.1.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x \cdot x - 3 x}$

Schritt 6.1.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x \cdot x + x \cdot - 3}$

Schritt 6.1.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 3$ heraus.

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x (x - 3)}$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 6.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x (x - 3)}$

Schritt 6.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3)}{x}$

Schritt 6.2

Multipliziere $(x^{2} + 9) (x + 3)$ aus.

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Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (x + 3) + 9 (x + 3)}{x}$

Schritt 6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + 9 (x + 3)}{x}$

Schritt 6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3}{x}$

Schritt 6.2.4

Stelle $x^{2}$ und $3$ um.

$\frac{x^{2} x + 3 x^{2} + 9 x + 9 \cdot 3}{x}$

Schritt 6.2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} x + 3 x^{2} + 9 x + 9 \cdot 3}{x}$

Schritt 6.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2 + 1} + 3 x^{2} + 9 x + 9 \cdot 3}{x}$

Schritt 6.2.7

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 9 \cdot 3}{x}$

Schritt 6.2.8

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 27}{x}$

Schritt 6.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$0$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$27$

Schritt 6.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			+	$x^{3}$	+	$0$

Schritt 6.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 0$

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$

Schritt 6.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$

Schritt 6.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Schritt 6.9

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Schritt 6.10

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$0$

Schritt 6.11

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{2} + 0$

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$

Schritt 6.12

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$

Schritt 6.13

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$27$

Schritt 6.14

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $9 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$27$

Schritt 6.15

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$27$
							+	$9 x$	+	$0$

Schritt 6.16

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $9 x + 0$

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$27$
							-	$9 x$	-	$0$

Schritt 6.17

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$27$
							-	$9 x$	-	$0$
									+	$27$

Schritt 6.18

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x^{2} + 3 x + 9 + \frac{27}{x}$

Schritt 6.19

Zerlege die Lösung in den Polynomteil und den Rest.

$x^{2} + 3 x + 9 + \frac{27 x - 81}{x^{2} - 3 x}$

Schritt 6.20

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = x^{2} + 3 x + 9$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = x^{2} + 3 x + 9$

Schritt 8