Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} - 10 y + 16 x + 25 = 0$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 10$ und $c = 16 x + 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (16 x + 25))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (16 x + 25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (16 x + 25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 (16 x) - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $16$ mit $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64 x - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64 x - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.6

Subtrahiere $100$ von $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 64 x + 0}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.7

Addiere $- 64 x$ und $0$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 64 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.8

Schreibe $- 64 x$ als $8^{2} \cdot (- 1 x)$ um.

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Schritt 1.3.1.8.1

Faktorisiere $64$ aus $- 64$ heraus.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{64 (- 1) x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.8.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{8^{2} \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{8^{2} \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{10 \pm 8 \sqrt{- 1 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{10 \pm 8 \sqrt{- 1 x}}{2}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 8 \sqrt{- 1 x}}{2}$ .

$y = 5 \pm 4 \sqrt{- 1 x}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (16 x + 25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (16 x + 25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 (16 x) - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4

Mutltipliziere $16$ mit $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64 x - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64 x - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.6

Subtrahiere $100$ von $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 64 x + 0}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.7

Addiere $- 64 x$ und $0$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 64 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.8

Schreibe $- 64 x$ als $8^{2} \cdot (- 1 x)$ um.

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Schritt 1.4.1.8.1

Faktorisiere $64$ aus $- 64$ heraus.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{64 (- 1) x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.8.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{8^{2} \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{8^{2} \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{10 \pm 8 \sqrt{- 1 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{10 \pm 8 \sqrt{- 1 x}}{2}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 8 \sqrt{- 1 x}}{2}$ .

$y = 5 \pm 4 \sqrt{- 1 x}$

Schritt 1.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 5 + 4 \sqrt{- 1 x}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (16 x + 25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (16 x + 25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 (16 x) - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $16$ mit $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64 x - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64 x - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.6

Subtrahiere $100$ von $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 64 x + 0}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.7

Addiere $- 64 x$ und $0$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 64 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.8

Schreibe $- 64 x$ als $8^{2} \cdot (- 1 x)$ um.

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Schritt 1.5.1.8.1

Faktorisiere $64$ aus $- 64$ heraus.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{64 (- 1) x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.8.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{8^{2} \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{8^{2} \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{10 \pm 8 \sqrt{- 1 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{10 \pm 8 \sqrt{- 1 x}}{2}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 8 \sqrt{- 1 x}}{2}$ .

$y = 5 \pm 4 \sqrt{- 1 x}$

Schritt 1.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 5 - 4 \sqrt{- 1 x}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 5 + 4 \sqrt{- 1 x}$

$y = 5 - 4 \sqrt{- 1 x}$

$y = 5 + 4 \sqrt{- 1 x}$

$y = 5 - 4 \sqrt{- 1 x}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = 5 + 4 \sqrt{- x}$

$y = 5 - 4 \sqrt{- x}$

Schritt 4