Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} + 4 x - 16 y + 72 = 0$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 16$ und $c = 4 x + 72$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (4 x + 72))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot (4 x + 72)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot (4 x + 72)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 (4 x) - 4 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 x - 4 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $72$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 x - 288}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.6

Subtrahiere $288$ von $256$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 16 x - 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.7

Faktorisiere $16$ aus $- 16 x - 32$ heraus.

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Schritt 1.3.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $- 16 x$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (- x) - 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.7.2

Faktorisiere $16$ aus $- 32$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (- x) + 16 (- 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.7.3

Faktorisiere $16$ aus $16 (- x) + 16 (- 2)$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.8

Schreibe $16 (- x - 2)$ als ${(2^{2})}^{2} (- x - 2)$ um.

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Schritt 1.3.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{- x - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{- x - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{- x - 2}}{2}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 \sqrt{- x - 2}}{2}$ .

$y = 8 \pm 2 \sqrt{- x - 2}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot (4 x + 72)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot (4 x + 72)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 (4 x) - 4 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 x - 4 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $72$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 x - 288}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.6

Subtrahiere $288$ von $256$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 16 x - 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.7

Faktorisiere $16$ aus $- 16 x - 32$ heraus.

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Schritt 1.4.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $- 16 x$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (- x) - 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.7.2

Faktorisiere $16$ aus $- 32$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (- x) + 16 (- 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.7.3

Faktorisiere $16$ aus $16 (- x) + 16 (- 2)$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.8

Schreibe $16 (- x - 2)$ als ${(2^{2})}^{2} (- x - 2)$ um.

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Schritt 1.4.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{- x - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{- x - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{- x - 2}}{2}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 \sqrt{- x - 2}}{2}$ .

$y = 8 \pm 2 \sqrt{- x - 2}$

Schritt 1.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 8 + 2 \sqrt{- x - 2}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot (4 x + 72)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot (4 x + 72)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 (4 x) - 4 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 x - 4 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $72$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 x - 288}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.6

Subtrahiere $288$ von $256$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 16 x - 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.7

Faktorisiere $16$ aus $- 16 x - 32$ heraus.

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Schritt 1.5.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $- 16 x$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (- x) - 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.7.2

Faktorisiere $16$ aus $- 32$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (- x) + 16 (- 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.7.3

Faktorisiere $16$ aus $16 (- x) + 16 (- 2)$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.8

Schreibe $16 (- x - 2)$ als ${(2^{2})}^{2} (- x - 2)$ um.

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Schritt 1.5.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{- x - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{- x - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{- x - 2}}{2}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 \sqrt{- x - 2}}{2}$ .

$y = 8 \pm 2 \sqrt{- x - 2}$

Schritt 1.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 8 - 2 \sqrt{- x - 2}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 8 + 2 \sqrt{- x - 2}$

$y = 8 - 2 \sqrt{- x - 2}$

$y = 8 + 2 \sqrt{- x - 2}$

$y = 8 - 2 \sqrt{- x - 2}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Die Standardform ist $8 + 2 \sqrt{- x - 2}, 8 - 2 \sqrt{- x - 2}$ .

$y = 8 + 2 \sqrt{- x - 2}$

$y = 8 - 2 \sqrt{- x - 2}$

Schritt 4