Elementarmathematik Beispiele

$- x^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 6 y = 28$

Schritt 1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- x^{2} - 4 x$ an.

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Schritt 1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Schritt 1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Schritt 1.3.2.2

Schreibe $- 1 \cdot - 2$ als $- - 2$ um.

$d = - - 2$

Schritt 1.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$d = 2$

Schritt 1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 4)}^{2}$ und $4$ .

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Schritt 1.4.2.1.1.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (4)$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.2.1.1.4

Mutltipliziere $4^{2}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.2.1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.2.1.1.6

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Schritt 1.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Schritt 1.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - - 4$

Schritt 1.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Schritt 1.4.2.2

Addiere $0$ und $4$ .

$e = 4$

Schritt 1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x + 2)}^{2} + 4$ ein.

$- {(x + 2)}^{2} + 4$

Schritt 2

Setze $- {(x + 2)}^{2} + 4$ für $- x^{2} - 4 x$ ein in der Gleichung $- x^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 6 y = 28$ .

$- {(x + 2)}^{2} + 4 + 3 y^{2} + 6 y = 28$

Schritt 3

Bringe $4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

$- {(x + 2)}^{2} + 3 y^{2} + 6 y = 28 - 4$

Schritt 4

Wende die quadratische Ergänzung auf $3 y^{2} + 6 y$ an.

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Schritt 4.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 3$

$b = 6$

$c = 0$

Schritt 4.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 4.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{6}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (3)}$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{3}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3}{3}$

Schritt 4.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 4.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 3}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

Schritt 4.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$e = 0 - \frac{36}{12}$

Schritt 4.4.2.1.3

Dividiere $36$ durch $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Schritt 4.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$e = 0 - 3$

Schritt 4.4.2.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$e = - 3$

Schritt 4.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $3 {(y + 1)}^{2} - 3$ ein.

$3 {(y + 1)}^{2} - 3$

Schritt 5

Setze $3 {(y + 1)}^{2} - 3$ für $3 y^{2} + 6 y$ ein in der Gleichung $- x^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 6 y = 28$ .

$- {(x + 2)}^{2} + 3 {(y + 1)}^{2} - 3 = 28 - 4$

Schritt 6

Bringe $- 3$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $3$ auf beiden Seiten.

$- {(x + 2)}^{2} + 3 {(y + 1)}^{2} = 28 - 4 + 3$

Schritt 7

Vereinfache $28 - 4 + 3$ .

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Schritt 7.1

Subtrahiere $4$ von $28$ .

$- {(x + 2)}^{2} + 3 {(y + 1)}^{2} = 24 + 3$

Schritt 7.2

Addiere $24$ und $3$ .

$- {(x + 2)}^{2} + 3 {(y + 1)}^{2} = 27$

Schritt 8

Teile jeden Term durch $27$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$- \frac{{(x + 2)}^{2}}{27} + \frac{3 {(y + 1)}^{2}}{27} = \frac{27}{27}$

Schritt 9

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{27} = 1$