Elementarmathematik Beispiele

$- 9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x + 16 y - 29 = 0$

Schritt 1

Addiere $29$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x + 16 y = 29$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 9 x^{2} - 18 x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 18}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 9$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (- 9)}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 9}{- 9}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 9$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 9}{- 9}$

Schritt 2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot - 9}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 9$ .

$e = 0 - \frac{324}{- 36}$

Schritt 2.4.2.1.3

Dividiere $324$ durch $- 36$ .

$e = 0 - - 9$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $0$ und $9$ .

$e = 9$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 9 {(x + 1)}^{2} + 9$ ein.

$- 9 {(x + 1)}^{2} + 9$

Schritt 3

Setze $- 9 {(x + 1)}^{2} + 9$ für $- 9 x^{2} - 18 x$ ein in der Gleichung $- 9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x + 16 y = 29$ .

$- 9 {(x + 1)}^{2} + 9 + 4 y^{2} + 16 y = 29$

Schritt 4

Bringe $9$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $9$ auf beiden Seiten.

$- 9 {(x + 1)}^{2} + 4 y^{2} + 16 y = 29 - 9$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 y^{2} + 16 y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = 16$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{16}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (4)}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{8}{4}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot 2}{4}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)}$

Schritt 5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{1}$

Schritt 5.3.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$d = 2$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Schritt 5.4.2.1.3

Dividiere $256$ durch $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$e = 0 - 16$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$e = - 16$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(y + 2)}^{2} - 16$ ein.

$4 {(y + 2)}^{2} - 16$

Schritt 6

Setze $4 {(y + 2)}^{2} - 16$ für $4 y^{2} + 16 y$ ein in der Gleichung $- 9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x + 16 y = 29$ .

$- 9 {(x + 1)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} - 16 = 29 - 9$

Schritt 7

Bringe $- 16$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $16$ auf beiden Seiten.

$- 9 {(x + 1)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 29 - 9 + 16$

Schritt 8

Vereinfache $29 - 9 + 16$ .

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Schritt 8.1

Subtrahiere $9$ von $29$ .

$- 9 {(x + 1)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 20 + 16$

Schritt 8.2

Addiere $20$ und $16$ .

$- 9 {(x + 1)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 36$

Schritt 9

Teile jeden Term durch $36$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$- \frac{9 {(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{4 {(y + 2)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{4} = 1$