Elementarmathematik Beispiele

$14 y + y^{2} = 4 x - 97$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$14 y + y^{2} - 4 x = - 97$

Schritt 1.1.2

Addiere $97$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$14 y + y^{2} - 4 x + 97 = 0$

Schritt 1.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 14$ und $c = - 4 x + 97$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 4 x + 97))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $14$ mit $2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x + 97)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (- 4 x + 97)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 (- 4 x) - 4 \cdot 97}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 16 x - 4 \cdot 97}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $97$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 16 x - 388}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.6

Subtrahiere $388$ von $196$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{16 x - 192}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.7

Faktorisiere $16$ aus $16 x - 192$ heraus.

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Schritt 1.4.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $16 x$ heraus.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{16 (x) - 192}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.7.2

Faktorisiere $16$ aus $- 192$ heraus.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{16 x + 16 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.7.3

Faktorisiere $16$ aus $16 x + 16 \cdot - 12$ heraus.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{16 (x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.8

Schreibe $16 (x - 12)$ als ${(2^{2})}^{2} (x - 12)$ um.

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Schritt 1.4.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4^{2} (x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 14 \pm 2^{2} \sqrt{x - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 14 \pm 4 \sqrt{x - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm 4 \sqrt{x - 12}}{2}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache $\frac{- 14 \pm 4 \sqrt{x - 12}}{2}$ .

$y = - 7 \pm 2 \sqrt{x - 12}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $14$ mit $2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x + 97)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (- 4 x + 97)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 (- 4 x) - 4 \cdot 97}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 16 x - 4 \cdot 97}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $97$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 16 x - 388}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.6

Subtrahiere $388$ von $196$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{16 x - 192}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.7

Faktorisiere $16$ aus $16 x - 192$ heraus.

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Schritt 1.5.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $16 x$ heraus.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{16 (x) - 192}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.7.2

Faktorisiere $16$ aus $- 192$ heraus.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{16 x + 16 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.7.3

Faktorisiere $16$ aus $16 x + 16 \cdot - 12$ heraus.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{16 (x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.8

Schreibe $16 (x - 12)$ als ${(2^{2})}^{2} (x - 12)$ um.

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Schritt 1.5.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4^{2} (x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 14 \pm 2^{2} \sqrt{x - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 14 \pm 4 \sqrt{x - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm 4 \sqrt{x - 12}}{2}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{- 14 \pm 4 \sqrt{x - 12}}{2}$ .

$y = - 7 \pm 2 \sqrt{x - 12}$

Schritt 1.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = - 7 + 2 \sqrt{x - 12}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Potenziere $14$ mit $2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x + 97)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (- 4 x + 97)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 (- 4 x) - 4 \cdot 97}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 16 x - 4 \cdot 97}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $97$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 16 x - 388}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.6

Subtrahiere $388$ von $196$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{16 x - 192}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.7

Faktorisiere $16$ aus $16 x - 192$ heraus.

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Schritt 1.6.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $16 x$ heraus.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{16 (x) - 192}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.7.2

Faktorisiere $16$ aus $- 192$ heraus.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{16 x + 16 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.7.3

Faktorisiere $16$ aus $16 x + 16 \cdot - 12$ heraus.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{16 (x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.8

Schreibe $16 (x - 12)$ als ${(2^{2})}^{2} (x - 12)$ um.

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Schritt 1.6.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4^{2} (x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 14 \pm 2^{2} \sqrt{x - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 14 \pm 4 \sqrt{x - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm 4 \sqrt{x - 12}}{2}$

Schritt 1.6.3

Vereinfache $\frac{- 14 \pm 4 \sqrt{x - 12}}{2}$ .

$y = - 7 \pm 2 \sqrt{x - 12}$

Schritt 1.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = - 7 - 2 \sqrt{x - 12}$

Schritt 1.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - 7 + 2 \sqrt{x - 12}$

$y = - 7 - 2 \sqrt{x - 12}$

$y = - 7 + 2 \sqrt{x - 12}$

$y = - 7 - 2 \sqrt{x - 12}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Die Standardform ist $- 7 + 2 \sqrt{x - 12}, - 7 - 2 \sqrt{x - 12}$ .

$y = - 7 + 2 \sqrt{x - 12}$

$y = - 7 - 2 \sqrt{x - 12}$

Schritt 4