Elementarmathematik Beispiele

$2 y^{2} + 4 y + x - 8 = 0$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 4$ und $c = x - 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (x - 8))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot (x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot (x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 x - 8 \cdot - 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 x + 64}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.5

Addiere $16$ und $64$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 8 x + 80}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.6

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x + 80$ heraus.

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Schritt 1.3.1.6.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- x) + 80}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.6.2

Faktorisiere $8$ aus $80$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- x) + 8 (10)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.6.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (- x) + 8 (10)$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- x + 10)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.7

Schreibe $8 (- x + 10)$ als $2^{2} \cdot (2 (- x + 10))$ um.

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Schritt 1.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (- x + 10)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 10))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.7.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 10))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 10)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 10)}}{4}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 10)}}{4}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot (x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot (x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 x - 8 \cdot - 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 x + 64}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.5

Addiere $16$ und $64$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 8 x + 80}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.6

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x + 80$ heraus.

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Schritt 1.4.1.6.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- x) + 80}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.6.2

Faktorisiere $8$ aus $80$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- x) + 8 (10)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.6.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (- x) + 8 (10)$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- x + 10)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.7

Schreibe $8 (- x + 10)$ als $2^{2} \cdot (2 (- x + 10))$ um.

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Schritt 1.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (- x + 10)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 10))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.7.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 10))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 10)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 10)}}{4}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 10)}}{4}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Schritt 1.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Schritt 1.4.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Schritt 1.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{2 (- x + 10)}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{2 (- x + 10)})}{2}$

Schritt 1.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{2 (- x + 10)})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (2 - \sqrt{2 (- x + 10)})}{2}$

Schritt 1.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot (x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot (x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 x - 8 \cdot - 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 x + 64}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.5

Addiere $16$ und $64$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 8 x + 80}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.6

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x + 80$ heraus.

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Schritt 1.5.1.6.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- x) + 80}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.6.2

Faktorisiere $8$ aus $80$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- x) + 8 (10)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.6.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (- x) + 8 (10)$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- x + 10)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.7

Schreibe $8 (- x + 10)$ als $2^{2} \cdot (2 (- x + 10))$ um.

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Schritt 1.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (- x + 10)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 10))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.7.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 10))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 10)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 10)}}{4}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 10)}}{4}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Schritt 1.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 2 - \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Schritt 1.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 - \sqrt{2 (- x + 10)}$ heraus.

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Schritt 1.5.5.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Schritt 1.5.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{2 (- x + 10)}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{2 (- x + 10)})}{2}$

Schritt 1.5.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (\sqrt{2 (- x + 10)})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (2 + \sqrt{2 (- x + 10)})}{2}$

Schritt 1.5.5.4

Schreibe $- 1 (2 + \sqrt{2 (- x + 10)})$ als $- (2 + \sqrt{2 (- x + 10)})$ um.

$y = \frac{- (2 + \sqrt{2 (- x + 10)})}{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Zerlege den Bruch $\frac{2 - \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$ in zwei Brüche.

$y = - (\frac{2}{2} + \frac{- \sqrt{2 (- x + 10)}}{2})$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$y = - (1 + \frac{- \sqrt{2 (- x + 10)}}{2})$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Schritt 4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - (1 - \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2})$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - (1 - \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2})$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Schritt 5

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 \cdot 1 + \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = - 1 + \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - 1 + \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Schritt 6

Zerlege den Bruch $\frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$ in zwei Brüche.

$y = - 1 + \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - (\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2})$

Schritt 7

Dividiere $2$ durch $2$ .

$y = - 1 + \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - (1 + \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2})$

Schritt 8

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 + \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - 1 \cdot 1 - \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Schritt 9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = - 1 + \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - 1 - \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$y = - 1 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (- x + 10)}$

$y = - 1 - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (- x + 10)})$

Schritt 11

Entferne die Klammern.

$y = - 1 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (- x + 10)}$

$y = - 1 - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (- x + 10)}$

Schritt 12