Elementarmathematik Beispiele

${(9 x - 3)}^{4}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(9 x - 3)}^{4}$ gilt $n = 4$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $5$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $9 x$ und $b$ $- 3$ in den Ausdruck ein.

$1 {(9 x)}^{4} {(- 3)}^{0} + 4 {(9 x)}^{3} {(- 3)}^{1} + 6 {(9 x)}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 {(9 x)}^{1} {(- 3)}^{3} + 1 {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(9 x)}^{4}$ mit $1$ .

${(9 x)}^{4} {(- 3)}^{0} + 4 {(9 x)}^{3} {(- 3)}^{1} + 6 {(9 x)}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 {(9 x)}^{1} {(- 3)}^{3} + 1 {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $9 x$ an.

$9^{4} x^{4} {(- 3)}^{0} + 4 {(9 x)}^{3} {(- 3)}^{1} + 6 {(9 x)}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 {(9 x)}^{1} {(- 3)}^{3} + 1 {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.3

Potenziere $9$ mit $4$ .

$6561 x^{4} {(- 3)}^{0} + 4 {(9 x)}^{3} {(- 3)}^{1} + 6 {(9 x)}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 {(9 x)}^{1} {(- 3)}^{3} + 1 {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$6561 x^{4} \cdot 1 + 4 {(9 x)}^{3} {(- 3)}^{1} + 6 {(9 x)}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 {(9 x)}^{1} {(- 3)}^{3} + 1 {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $6561$ mit $1$ .

$6561 x^{4} + 4 {(9 x)}^{3} {(- 3)}^{1} + 6 {(9 x)}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 {(9 x)}^{1} {(- 3)}^{3} + 1 {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.6

Wende die Produktregel auf $9 x$ an.

$6561 x^{4} + 4 (9^{3} x^{3}) {(- 3)}^{1} + 6 {(9 x)}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 {(9 x)}^{1} {(- 3)}^{3} + 1 {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.7

Potenziere $9$ mit $3$ .

$6561 x^{4} + 4 (729 x^{3}) {(- 3)}^{1} + 6 {(9 x)}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 {(9 x)}^{1} {(- 3)}^{3} + 1 {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $729$ mit $4$ .

$6561 x^{4} + 2916 x^{3} {(- 3)}^{1} + 6 {(9 x)}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 {(9 x)}^{1} {(- 3)}^{3} + 1 {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.9

Berechne den Exponenten.

$6561 x^{4} + 2916 x^{3} \cdot - 3 + 6 {(9 x)}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 {(9 x)}^{1} {(- 3)}^{3} + 1 {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $- 3$ mit $2916$ .

$6561 x^{4} - 8748 x^{3} + 6 {(9 x)}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 {(9 x)}^{1} {(- 3)}^{3} + 1 {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.11

Wende die Produktregel auf $9 x$ an.

$6561 x^{4} - 8748 x^{3} + 6 (9^{2} x^{2}) {(- 3)}^{2} + 4 {(9 x)}^{1} {(- 3)}^{3} + 1 {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.12

Potenziere $9$ mit $2$ .

$6561 x^{4} - 8748 x^{3} + 6 (81 x^{2}) {(- 3)}^{2} + 4 {(9 x)}^{1} {(- 3)}^{3} + 1 {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $81$ mit $6$ .

$6561 x^{4} - 8748 x^{3} + 486 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 {(9 x)}^{1} {(- 3)}^{3} + 1 {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.14

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$6561 x^{4} - 8748 x^{3} + 486 x^{2} \cdot 9 + 4 {(9 x)}^{1} {(- 3)}^{3} + 1 {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $9$ mit $486$ .

$6561 x^{4} - 8748 x^{3} + 4374 x^{2} + 4 {(9 x)}^{1} {(- 3)}^{3} + 1 {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.16

Vereinfache.

$6561 x^{4} - 8748 x^{3} + 4374 x^{2} + 4 (9 x) {(- 3)}^{3} + 1 {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.17

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$6561 x^{4} - 8748 x^{3} + 4374 x^{2} + 36 x {(- 3)}^{3} + 1 {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.18

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$6561 x^{4} - 8748 x^{3} + 4374 x^{2} + 36 x \cdot - 27 + 1 {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.19

Mutltipliziere $- 27$ mit $36$ .

$6561 x^{4} - 8748 x^{3} + 4374 x^{2} - 972 x + 1 {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.20

Mutltipliziere ${(9 x)}^{0}$ mit $1$ .

$6561 x^{4} - 8748 x^{3} + 4374 x^{2} - 972 x + {(9 x)}^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.21

Wende die Produktregel auf $9 x$ an.

$6561 x^{4} - 8748 x^{3} + 4374 x^{2} - 972 x + 9^{0} x^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.22

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$6561 x^{4} - 8748 x^{3} + 4374 x^{2} - 972 x + 1 x^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.23

Mutltipliziere $x^{0}$ mit $1$ .

$6561 x^{4} - 8748 x^{3} + 4374 x^{2} - 972 x + x^{0} {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.24

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$6561 x^{4} - 8748 x^{3} + 4374 x^{2} - 972 x + 1 {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.25

Mutltipliziere ${(- 3)}^{4}$ mit $1$ .

$6561 x^{4} - 8748 x^{3} + 4374 x^{2} - 972 x + {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.26

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$6561 x^{4} - 8748 x^{3} + 4374 x^{2} - 972 x + 81$