Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = (5 x^{5} + 5) (- 2 x^{5} - 3)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 5 x^{5} + 5$ und $g (x) = - 2 x^{5} - 3$ .

$(5 x^{5} + 5) \frac{d}{d x} [- 2 x^{5} - 3] + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x^{5} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(5 x^{5} + 5) (\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{5}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4} + 0) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Schritt 4.2

Addiere $- 10 x^{4}$ und $0$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{5} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 5

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{5}]$ .

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Schritt 5.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{5}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (5 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (25 x^{4} + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 6.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (25 x^{4} + 0)$

Schritt 6.2

Addiere $25 x^{4}$ und $0$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (25 x^{4})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{5} (- 10 x^{4}) + 5 (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (25 x^{4})$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{5} (- 10 x^{4}) + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

Schritt 7.3

Vereine die Terme

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $5$ .

$- 50 x^{5} x^{4} + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

Schritt 7.3.2

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$- 50 (x^{4} x^{5}) + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

Schritt 7.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 50 x^{4 + 5} + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

Schritt 7.3.2.3

Addiere $4$ und $5$ .

$- 50 x^{9} + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $5$ .

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $25$ mit $- 2$ .

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 x^{5} x^{4} - 3 (25 x^{4})$

Schritt 7.3.5

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.5.1

Bewege $x^{4}$ .

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 (x^{4} x^{5}) - 3 (25 x^{4})$

Schritt 7.3.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 x^{4 + 5} - 3 (25 x^{4})$

Schritt 7.3.5.3

Addiere $4$ und $5$ .

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 x^{9} - 3 (25 x^{4})$

Schritt 7.3.6

Mutltipliziere $25$ mit $- 3$ .

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 x^{9} - 75 x^{4}$

Schritt 7.3.7

Subtrahiere $50 x^{9}$ von $- 50 x^{9}$ .

$- 100 x^{9} - 50 x^{4} - 75 x^{4}$

Schritt 7.3.8

Subtrahiere $75 x^{4}$ von $- 50 x^{4}$ .

$- 100 x^{9} - 125 x^{4}$