Elementarmathematik Beispiele

\tan (θ) = - \frac{2}{7}

$\tan (θ) = - \frac{2}{7}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Tangens, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

\tan (θ) = \frac{gegenüber}{Ankathete}

$\tan (θ) = \frac{gegenüber}{Ankathete}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Gegenkathete und die Ankathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

Hypotenuse = \sqrt{{gegenüber}^{2} + {Ankathete}^{2}}

$Hypotenuse = \sqrt{{gegenüber}^{2} + {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

Hypotenuse = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(7)}^{2}}

$Hypotenuse = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(7)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere

- 2

$- 2$ mit

2

$2$ .

Hypothenuse

= \sqrt{4 + {(7)}^{2}}

$= \sqrt{4 + {(7)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere

7

$7$ mit

2

$2$ .

Hypothenuse

= \sqrt{4 + 49}

$= \sqrt{4 + 49}$

Schritt 4.3

Addiere

4

$4$ und

49

$49$ .

Hypothenuse

= \sqrt{53}

$= \sqrt{53}$

Hypothenuse

= \sqrt{53}

$= \sqrt{53}$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von

\sin (θ)

$\sin (θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

\sin (θ) = \frac{- 2}{\sqrt{53}}

$\sin (θ) = \frac{- 2}{\sqrt{53}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Wert von

\sin (θ)

$\sin (θ)$ .

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Schritt 5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

\sin (θ) = - \frac{2}{\sqrt{53}}

$\sin (θ) = - \frac{2}{\sqrt{53}}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere

\frac{2}{\sqrt{53}}

$\frac{2}{\sqrt{53}}$ mit

\frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}

$\frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}$ .

\sin (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{53}} \cdot \frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}})

$\sin (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{53}} \cdot \frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}})$

Schritt 5.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere

\frac{2}{\sqrt{53}}

$\frac{2}{\sqrt{53}}$ mit

\frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}

$\frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}$ .

\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{\sqrt{53} \sqrt{53}}

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{\sqrt{53} \sqrt{53}}$

Schritt 5.3.3.2

Potenziere

\sqrt{53}

$\sqrt{53}$ mit

1

$1$ .

\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{\sqrt{53} \sqrt{53}}

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{\sqrt{53} \sqrt{53}}$

Schritt 5.3.3.3

Potenziere

\sqrt{53}

$\sqrt{53}$ mit

1

$1$ .

\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{\sqrt{53} \sqrt{53}}

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{\sqrt{53} \sqrt{53}}$

Schritt 5.3.3.4

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{{\sqrt{53}}^{1 + 1}}

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{{\sqrt{53}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.3.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{{\sqrt{53}}^{2}}

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{{\sqrt{53}}^{2}}$

Schritt 5.3.3.6

Schreibe

{\sqrt{53}}^{2}

${\sqrt{53}}^{2}$ als

53

$53$ um.

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Schritt 5.3.3.6.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{53}

$\sqrt{53}$ als

53^{\frac{1}{2}}

$53^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{{(53^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{{(53^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.3.6.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53^{\frac{2}{2}}}

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 5.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53^{\frac{2}{2}}}

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53}

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53}$

\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53}

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53}$

Schritt 5.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53}

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53}$

\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53}

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53}$

\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53}

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53}$

\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53}

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53}$

\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53}

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53}$

Schritt 6

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von

\cos (θ)

$\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

\cos (θ) = \frac{7}{\sqrt{53}}

$\cos (θ) = \frac{7}{\sqrt{53}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von

\cos (θ)

$\cos (θ)$ .

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere

\frac{7}{\sqrt{53}}

$\frac{7}{\sqrt{53}}$ mit

\frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}

$\frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}$ .

\cos (θ) = \frac{7}{\sqrt{53}} \cdot \frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}

$\cos (θ) = \frac{7}{\sqrt{53}} \cdot \frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}$

Schritt 6.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere

\frac{7}{\sqrt{53}}

$\frac{7}{\sqrt{53}}$ mit

\frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}

$\frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}$ .

\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{\sqrt{53} \sqrt{53}}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{\sqrt{53} \sqrt{53}}$

Schritt 6.3.2.2

Potenziere

\sqrt{53}

$\sqrt{53}$ mit

1

$1$ .

\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{\sqrt{53} \sqrt{53}}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{\sqrt{53} \sqrt{53}}$

Schritt 6.3.2.3

Potenziere

\sqrt{53}

$\sqrt{53}$ mit

1

$1$ .

\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{\sqrt{53} \sqrt{53}}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{\sqrt{53} \sqrt{53}}$

Schritt 6.3.2.4

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{{\sqrt{53}}^{1 + 1}}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{{\sqrt{53}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.2.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{{\sqrt{53}}^{2}}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{{\sqrt{53}}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6

Schreibe

{\sqrt{53}}^{2}

${\sqrt{53}}^{2}$ als

53

$53$ um.

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Schritt 6.3.2.6.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{53}

$\sqrt{53}$ als

53^{\frac{1}{2}}

$53^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{{(53^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{{(53^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.2.6.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53^{\frac{2}{2}}}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 6.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53^{\frac{2}{2}}}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53}$

\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53}$

Schritt 6.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53}$

\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53}$

\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53}$

\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53}$

\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von

\cot (θ)

$\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

\cot (θ) = \frac{adj}{opp}

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

\cot (θ) = \frac{7}{- 2}

$\cot (θ) = \frac{7}{- 2}$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

\cot (θ) = - \frac{7}{2}

$\cot (θ) = - \frac{7}{2}$

\cot (θ) = - \frac{7}{2}

$\cot (θ) = - \frac{7}{2}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von

\sec (θ)

$\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

\sec (θ) = \frac{\sqrt{53}}{7}

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{53}}{7}$

\sec (θ) = \frac{\sqrt{53}}{7}

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{53}}{7}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von

\csc (θ)

$\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

\csc (θ) = \frac{\sqrt{53}}{- 2}

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{53}}{- 2}$

Schritt 9.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

\csc (θ) = - \frac{\sqrt{53}}{2}

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{53}}{2}$

\csc (θ) = - \frac{\sqrt{53}}{2}

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{53}}{2}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53}

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{53}}{53}$

\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53}$

\tan (θ) = - \frac{2}{7}

$\tan (θ) = - \frac{2}{7}$

\cot (θ) = - \frac{7}{2}

$\cot (θ) = - \frac{7}{2}$

\sec (θ) = \frac{\sqrt{53}}{7}

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{53}}{7}$

\csc (θ) = - \frac{\sqrt{53}}{2}

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{53}}{2}$