Elementarmathematik Beispiele

$6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y - 426 = 0$

Schritt 1

Addiere $426$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $6 x^{2} - 12 x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 6$

$b = - 12$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 6}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 6}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (6)}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 6}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 6}{6}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $6$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 (1)}$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 6}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 6}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$e = 0 - \frac{144}{24}$

Schritt 2.4.2.1.3

Dividiere $144$ durch $24$ .

$e = 0 - 1 \cdot 6$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$e = 0 - 6$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$e = - 6$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $6 {(x - 1)}^{2} - 6$ ein.

$6 {(x - 1)}^{2} - 6$

Schritt 3

Setze $6 {(x - 1)}^{2} - 6$ für $6 x^{2} - 12 x$ ein in der Gleichung $6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$ .

$6 {(x - 1)}^{2} - 6 + 54 y^{2} + 108 y = 426$

Schritt 4

Bringe $- 6$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $6$ auf beiden Seiten.

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 y^{2} + 108 y = 426 + 6$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $54 y^{2} + 108 y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 54$

$b = 108$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{108}{2 \cdot 54}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $108$ und $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $108$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 54}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 54$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 (54)}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 54}$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{54}{54}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $54$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{54}{54}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{108^{2}}{4 \cdot 54}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $108$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{11664}{4 \cdot 54}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $54$ .

$e = 0 - \frac{11664}{216}$

Schritt 5.4.2.1.3

Dividiere $11664$ durch $216$ .

$e = 0 - 1 \cdot 54$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $54$ .

$e = 0 - 54$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $54$ von $0$ .

$e = - 54$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $54 {(y + 1)}^{2} - 54$ ein.

$54 {(y + 1)}^{2} - 54$

Schritt 6

Setze $54 {(y + 1)}^{2} - 54$ für $54 y^{2} + 108 y$ ein in der Gleichung $6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$ .

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} - 54 = 426 + 6$

Schritt 7

Bringe $- 54$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $54$ auf beiden Seiten.

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 426 + 6 + 54$

Schritt 8

Vereinfache $426 + 6 + 54$ .

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Schritt 8.1

Addiere $426$ und $6$ .

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 432 + 54$

Schritt 8.2

Addiere $432$ und $54$ .

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 486$

Schritt 9

Teile jeden Term durch $486$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{6 {(x - 1)}^{2}}{486} + \frac{54 {(y + 1)}^{2}}{486} = \frac{486}{486}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{81} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 11

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 12

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 9$

$b = 3$

$k = - 1$

$h = 1$

Schritt 13

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 14

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(9)}^{2} - {(3)}^{2}}}{9}$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{81 - 3^{2}}}{9}$

Schritt 15.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{81 - 1 \cdot 9}}{9}$

Schritt 15.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{\sqrt{81 - 9}}{9}$

Schritt 15.1.4

Subtrahiere $9$ von $81$ .

$\frac{\sqrt{72}}{9}$

Schritt 15.1.5

Schreibe $72$ als $6^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 15.1.5.1

Faktorisiere $36$ aus $72$ heraus.

$\frac{\sqrt{36 (2)}}{9}$

Schritt 15.1.5.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{6^{2} \cdot 2}}{9}$

Schritt 15.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{6 \sqrt{2}}{9}$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $9$ .

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Schritt 15.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{9}$

Schritt 15.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{3 (3)}$

Schritt 15.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{3 \cdot 3}$

Schritt 15.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Dezimalform:

$0.94280904 \dots$

Schritt 17