Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} - 7 x^{3} + 8 x^{2} + 28 x - 48$

Schritt 1

Setze $x^{4} - 7 x^{3} + 8 x^{2} + 28 x - 48$ gleich $0$ .

$x^{4} - 7 x^{3} + 8 x^{2} + 28 x - 48 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 7 x^{3} + 28 x + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 7 x$ aus $- 7 x^{3} + 28 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $- 7 x$ aus $- 7 x^{3}$ heraus.

$- 7 x \cdot x^{2} + 28 x + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $- 7 x$ aus $28 x$ heraus.

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot - 4 + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $- 7 x$ aus $- 7 x (x^{2}) - 7 x (- 4)$ heraus.

$- 7 x (x^{2} - 4) + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 7 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$- 7 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.1.5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.1.6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} + 8 u - 48 = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $u^{2} + 8 u - 48$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 48$ und deren Summe $8$ ist.

$- 4, 12$

Schritt 2.1.7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + (u - 4) (u + 12) = 0$

Schritt 2.1.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.9

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.10

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.11

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $- 7 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)$ heraus.

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Schritt 2.1.11.1

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $- 7 x (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (- 7 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.11.2

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $(x + 2) (x - 2) (- 7 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (- 7 x + x^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.12

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 7 u + u^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.13

Faktorisiere $- 7 u + u^{2} + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.13.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 4, - 3$

Schritt 2.1.13.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 2) (x - 2) ((u - 4) (u - 3)) = 0$

Schritt 2.1.14

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.14.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 4) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.1.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x - 2) (x - 4) (x - 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x - 2) (x - 4) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2, 4, 3$

Schritt 3