Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \csc (x) + \sqrt{2}$

Schritt 1

Setze $\csc (x) + \sqrt{2}$ gleich $0$ .

$\csc (x) + \sqrt{2} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Schritt 2.2

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$x = arccsc (- \sqrt{2})$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Der genau Wert von $arccsc (- \sqrt{2})$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 2.4

Die Kosekansfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um den Referenzwinkel zu finden. Addiere dann diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 2.5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Schritt 2.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{4}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 2.6

Ermittele die Periode von $\csc (x)$ .

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Schritt 2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.7

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 2.7.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Schritt 2.7.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.7.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 2.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Schritt 2.7.4.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Schritt 2.7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 2.8

Die Periode der Funktion $\csc (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3