Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 219 x - 221$

Schritt 1

Setze $x^{3} + 3 x^{2} - 219 x - 221$ gleich $0$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 219 x - 221 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{3} + 3 x^{2} - 219 x - 221$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 221, \pm 13, \pm 17$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 221, \pm 13, \pm 17$

Schritt 2.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 219 \cdot - 1 - 221$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 219 \cdot - 1 - 221$

Schritt 2.1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 + 3 \cdot 1 - 219 \cdot - 1 - 221$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 1 + 3 - 219 \cdot - 1 - 221$

Schritt 2.1.3.5

Addiere $- 1$ und $3$ .

$2 - 219 \cdot - 1 - 221$

Schritt 2.1.3.6

Mutltipliziere $- 219$ mit $- 1$ .

$2 + 219 - 221$

Schritt 2.1.3.7

Addiere $2$ und $219$ .

$221 - 221$

Schritt 2.1.3.8

Subtrahiere $221$ von $221$ .

$0$

Schritt 2.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 219 x - 221}{x + 1}$

Schritt 2.1.5

Dividiere $x^{3} + 3 x^{2} - 219 x - 221$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$219 x$

$221$

Schritt 2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$

Schritt 2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Schritt 2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$219 x$

Schritt 2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$219 x$

Schritt 2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$219 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$219 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$219 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$221 x$

Schritt 2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$219 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$221 x$	-	$221$

Schritt 2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 221 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$221$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$219 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$221 x$	-	$221$

Schritt 2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$221$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$219 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$221 x$	-	$221$
							-	$221 x$	-	$221$

Schritt 2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 221 x - 221$

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$221$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$219 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$221 x$	-	$221$
							+	$221 x$	+	$221$

Schritt 2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$221$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$219 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$221 x$	-	$221$
							+	$221 x$	+	$221$
										$0$

Schritt 2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 2 x - 221$

Schritt 2.1.6

Schreibe $x^{3} + 3 x^{2} - 219 x - 221$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) (x^{2} + 2 x - 221) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 2 x - 221 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4

Setze $x^{2} + 2 x - 221$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2} + 2 x - 221$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x - 221 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} + 2 x - 221 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = - 221$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 221)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 221}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 221$ .

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Schritt 2.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 221}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 221$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 884}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.3

Addiere $4$ und $884$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{888}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.4

Schreibe $888$ als $2^{2} \cdot 222$ um.

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Schritt 2.4.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $888$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (222)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 222}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{222}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{222}}{2}$

Schritt 2.4.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{222}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{222}$

Schritt 2.4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + \sqrt{222}, - 1 - \sqrt{222}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x^{2} + 2 x - 221) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - 1 + \sqrt{222}, - 1 - \sqrt{222}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 1, - 1 + \sqrt{222}, - 1 - \sqrt{222}$

Dezimalform:

$x = - 1, 13.89966442 \dots, - 15.89966442 \dots$

Schritt 4