Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x}{x^{3} - 125}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{x}{x^{3} - 125}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} - 125 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $125$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 125$

Schritt 2.2

Subtrahiere $125$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 125 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$x^{3} - 5^{3} = 0$

Schritt 2.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.3.3.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$

Schritt 2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Schritt 2.5

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.6

Setze $x^{2} + 5 x + 25$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x^{2} + 5 x + 25$ gleich $0$ .

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Schritt 2.6.2

Löse $x^{2} + 5 x + 25 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 5$ und $c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.2.3.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 2.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.3

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.2.4.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 2.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.4.1.3

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.4.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.4.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.4.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.4.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.2.4.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $5 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (- 5 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 2.6.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (- 5 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (5 - 5 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 2.6.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.2.5.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 2.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.5.1.3

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.5.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.5.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.6.2.5.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.5.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.5.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.2.5.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (5 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 2.6.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (5 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (5 + 5 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 2.6.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 5}$

Schritt 4