Elementarmathematik Beispiele

$6 x < \frac{36}{x + 5}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{36}{x + 5}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$6 x - \frac{36}{x + 5} < 0$

Schritt 2

Vereinfache $6 x - \frac{36}{x + 5}$ .

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Schritt 2.1

Um $6 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{6 x (x + 5)}{x + 5} - \frac{36}{x + 5} < 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 x (x + 5) - 36}{x + 5} < 0$

Schritt 2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x (x + 5) - 36$ heraus.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x (x + 5)$ heraus.

$\frac{6 (x (x + 5)) - 36}{x + 5} < 0$

Schritt 2.3.1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 36$ heraus.

$\frac{6 (x (x + 5)) + 6 \cdot - 6}{x + 5} < 0$

Schritt 2.3.1.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (x (x + 5)) + 6 \cdot - 6$ heraus.

$\frac{6 (x (x + 5) - 6)}{x + 5} < 0$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (x \cdot x + x \cdot 5 - 6)}{x + 5} < 0$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{6 (x^{2} + x \cdot 5 - 6)}{x + 5} < 0$

Schritt 2.3.4

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{6 (x^{2} + 5 \cdot x - 6)}{x + 5} < 0$

Schritt 2.3.5

Faktorisiere $x^{2} + 5 x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $5$ ist.

$- 1, 6$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{6 ((x - 1) (x + 6))}{x + 5} < 0$

$\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 1 = 0$

$x + 6 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 6

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 1$

$x = - 6$

$x = - 5$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 1, - 6, - 5$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 5 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 (- 8) < \frac{36}{(- 8) + 5}$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $- 48$ ist kleiner als die rechte Seite $- 12$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 6 < x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 6 < x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5.5$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 5.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 (- 5.5) < \frac{36}{(- 5.5) + 5}$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 33$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 72$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 (0) < \frac{36}{(0) + 5}$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $7.2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 (4) < \frac{36}{(4) + 5}$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $24$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 6$ oder $- 5 < x < 1$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 6) \cup (- 5, 1)$

Schritt 14