Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} < 2 x^{2} + 3 x$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{3} - 2 x^{2} < 3 x$

Schritt 1.2

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{3} - 2 x^{2} - 3 x < 0$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{3} - 2 x^{2} - 3 x = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 2 x^{2} - 3 x$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 3 x = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 3 x = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 3 = 0$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ heraus.

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3 = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3$ heraus.

$x (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Schritt 3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x - 3) (x + 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 7

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 3) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3, - 1$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 4)}^{3} < 2 {(- 4)}^{2} + 3 (- 4)$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $- 64$ ist kleiner als die rechte Seite $20$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.5$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $- 0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 0.5)}^{3} < 2 {(- 0.5)}^{2} + 3 (- 0.5)$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $- 0.125$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(2)}^{3} < 2 {(2)}^{2} + 3 (2)$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $8$ ist kleiner als die rechte Seite $14$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 10.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(6)}^{3} < 2 {(6)}^{2} + 3 (6)$

Schritt 10.4.3

Die linke Seite $216$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $90$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 1$ oder $0 < x < 3$

Schritt 12

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 1) \cup (0, 3)$

Schritt 13