Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x - 3}{x + 3} < 2$

Schritt 1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x - 3}{x + 3} - 2 < 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x - 3}{x + 3} - 2$ .

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Schritt 2.1

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x - 3}{x + 3} - 2 \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x - 3}{x + 3} + \frac{- 2 (x + 3)}{x + 3} < 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 3 - 2 (x + 3)}{x + 3} < 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 3 - 2 x - 2 \cdot 3}{x + 3} < 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{x - 3 - 2 x - 6}{x + 3} < 0$

Schritt 2.4.3

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$\frac{- x - 3 - 6}{x + 3} < 0$

Schritt 2.4.4

Subtrahiere $6$ von $- 3$ .

$\frac{- x - 9}{x + 3} < 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) - 9}{x + 3} < 0$

Schritt 2.6

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (9)}{x + 3} < 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (9)$ heraus.

$\frac{- (x + 9)}{x + 3} < 0$

Schritt 2.8

Schreibe $- (x + 9)$ als $- 1 (x + 9)$ um.

$\frac{- 1 (x + 9)}{x + 3} < 0$

Schritt 2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x + 9}{x + 3} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 5

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 9$

$x = - 3$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 9, - 3$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{x + 9}{x + 3}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 9}{x + 3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 3 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 9$

$- 9 < x < - 3$

$x > - 3$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 12$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 12) - 3}{(- 12) + 3} < 2$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $1.\overline{6}$ ist kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 9 < x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 9 < x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 6) - 3}{(- 6) + 3} < 2$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $3$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) - 3}{(0) + 3} < 2$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $- 1$ ist kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 9$ Wahr

$- 9 < x < - 3$ Falsch

$x > - 3$ Wahr

$x < - 9$ Wahr

$- 9 < x < - 3$ Falsch

$x > - 3$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 9$ oder $x > - 3$

Schritt 12

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 9) \cup (- 3, \infty)$

Schritt 13