Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 4 x + 4 y^{2} - 8 y + 4 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x + 4 y^{2} - 8 y = - 4$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + 4 x$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$d = 2$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - 4$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$e = - 4$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + 2)}^{2} - 4$ ein.

${(x + 2)}^{2} - 4$

Schritt 1.3

Setze ${(x + 2)}^{2} - 4$ für $x^{2} + 4 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + 4 x + 4 y^{2} - 8 y = - 4$ .

${(x + 2)}^{2} - 4 + 4 y^{2} - 8 y = - 4$

Schritt 1.4

Bringe $- 4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

${(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} - 8 y = - 4 + 4$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 y^{2} - 8 y$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 4}{4}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - 4$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$e = - 4$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ ein.

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

Schritt 1.6

Setze $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ für $4 y^{2} - 8 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + 4 x + 4 y^{2} - 8 y = - 4$ .

${(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} - 4 = - 4 + 4$

Schritt 1.7

Bringe $- 4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

${(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = - 4 + 4 + 4$

Schritt 1.8

Vereinfache $- 4 + 4 + 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

${(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 0 + 4$

Schritt 1.8.2

Addiere $0$ und $4$ .

${(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 4$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $4$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{4} + \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{4} + {(y - 1)}^{2} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 2$

$b = 1$

$k = 1$

$h = - 2$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(- 2, 1)$

Schritt 5