Elementarmathematik Beispiele

$y = - \frac{3}{4} x + 5$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{3}{4} y + 5$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{3}{4} y + 5 = x$ um.

$- \frac{3}{4} y + 5 = x$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $y$ und $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{y \cdot 3}{4} + 5 = x$

Schritt 2.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$- \frac{3 y}{4} + 5 = x$

Schritt 2.3

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{3 y}{4} = x - 5$

Schritt 2.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Schritt 2.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.1.1

Vereinfache $- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4})$ .

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Schritt 2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Schritt 2.5.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 y}{4}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Schritt 2.5.1.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Schritt 2.5.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Schritt 2.5.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{3} (- 3 y) = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Schritt 2.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 y$ heraus.

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Schritt 2.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Schritt 2.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Schritt 2.5.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 2.5.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Schritt 2.5.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache $- \frac{4}{3} (x - 5)$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 5$

Schritt 2.5.2.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 5$

Schritt 2.5.2.1.3

Multipliziere $- \frac{4}{3} \cdot - 5$ .

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Schritt 2.5.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + 5 (\frac{4}{3})$

Schritt 2.5.2.1.3.2

Kombiniere $5$ und $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{5 \cdot 4}{3}$

Schritt 2.5.2.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{20}{3}$

Schritt 2.5.2.1.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{3}{4} x + 5$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = - \frac{4 (- \frac{3}{4} x + 5)}{3} + \frac{20}{3}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{- 4 (- \frac{3}{4} x + 5) + 20}{3}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{4}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{- 4 (- \frac{x \cdot 3}{4} + 5) + 20}{3}$

Schritt 4.2.4.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{- 4 (- \frac{3 x}{4} + 5) + 20}{3}$

Schritt 4.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{- 4 (- \frac{3 x}{4}) - 4 \cdot 5 + 20}{3}$

Schritt 4.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 x}{4}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{- 4 \frac{- 3 x}{4} - 4 \cdot 5 + 20}{3}$

Schritt 4.2.4.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{4 (- 1) (\frac{- 3 x}{4}) - 4 \cdot 5 + 20}{3}$

Schritt 4.2.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{- 3 x}{4}) - 4 \cdot 5 + 20}{3}$

Schritt 4.2.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{- 1 (- 3 x) - 4 \cdot 5 + 20}{3}$

Schritt 4.2.4.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{3 x - 4 \cdot 5 + 20}{3}$

Schritt 4.2.4.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{3 x - 20 + 20}{3}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x - 20 + 20$ .

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Schritt 4.2.5.1.1

Addiere $- 20$ und $20$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 4.2.5.1.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 4.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) + 5$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4 x}{3}) - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{- 3}{4} \cdot (- \frac{4 x}{3}) - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Schritt 4.3.3.2.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 x}{3}$ in den Zähler.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{- 3}{4} \cdot \frac{- 4 x}{3} - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Schritt 4.3.3.2.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 x}{3} - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Schritt 4.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 x}{3} - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Schritt 4.3.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{- 1}{4} \cdot (- 4 x) - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- x)) - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Schritt 4.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- x)) - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Schritt 4.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = - 1 (- x) - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Schritt 4.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = 1 x - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Schritt 4.3.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Schritt 4.3.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + \frac{- 3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Schritt 4.3.3.6.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + \frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Schritt 4.3.3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + \frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Schritt 4.3.3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + \frac{- 1}{4} \cdot 20 + 5$

Schritt 4.3.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.7.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + \frac{- 1}{4} \cdot (4 (5)) + 5$

Schritt 4.3.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + \frac{- 1}{4} \cdot (4 \cdot 5) + 5$

Schritt 4.3.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x - 1 \cdot 5 + 5$

Schritt 4.3.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x - 5 + 5$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 + 5$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{3}{4} x + 5$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}$