Elementarmathematik Beispiele

$y = 3^{x} + 2$

Step 1

Vertausche die Variablen.

$x = 3^{y} + 2$

Step 2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe die Gleichung als $3^{y} + 2 = x$ um.

$3^{y} + 2 = x$

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3^{y} = x - 2$

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{y}) = \ln (x - 2)$

Zerlege $\ln (3^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (3) = \ln (x - 2)$

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (3) = \ln (x - 2)$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (3) = \ln (x - 2)$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Step 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3^{x} + 2$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Berechne $f^{- 1} (3^{x} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln ((3^{x} + 2) - 2)}{\ln (3)}$

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3^{x} + 2 - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln (3^{x} + 0)}{\ln (3)}$

Addiere $3^{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = x$

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Berechne $f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}} + 2$

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x - 2)} + 2$

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x - 2 + 2$

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x + 0$

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x$

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3^{x} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$