Elementarmathematik Beispiele

$y = \sqrt{x + 5}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{y + 5}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{y + 5} = x$ um.

$\sqrt{y + 5} = x$

Schritt 2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y + 5}}^{2} = x^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 5}$ als ${(y + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Vereinfache ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 5)}^{1} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Vereinfache.

$y + 5 = x^{2}$

Schritt 2.4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{2} - 5$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{x + 5}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{x + 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = {(\sqrt{x + 5})}^{2} - 5$

Schritt 4.2.3

Schreibe ${\sqrt{x + 5}}^{2}$ als $x + 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 5}$ als ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 5$

Schritt 4.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 5$

Schritt 4.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} - 5$

Schritt 4.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} - 5$

Schritt 4.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = (x + 5) - 5$

Schritt 4.2.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = x + 5 - 5$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 5 - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (x^{2} - 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} - 5) = \sqrt{(x^{2} - 5) + 5}$

Schritt 4.3.3

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f (x^{2} - 5) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Schritt 4.3.4

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$f (x^{2} - 5) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 4.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (x^{2} - 5) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$