Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Schritt 1

Stelle fest, ob die Funktion ungerade, gerade oder keines von beidem ist, um die Symmetrie zu ermitteln.

1. Wenn ungerade, dann ist die Funktion symmetrisch zum Ursprung.

1. Wenn gerade, dann ist die Funktion symmetrisch zur y-Achse.

Schritt 2

Ermittle $f (- x)$ .

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Schritt 2.1

Ermittle $f (- x)$ durch Einsetzen von $- x$ in $f (x)$ für jedes $x$ .

$f (- x) = {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = {(- 1)}^{4} x^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- x) = 1 x^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f (- x) = x^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

Schritt 2.2.4

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = x^{4} - 4 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 4 {(- x)}^{2}$

Schritt 2.2.5

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- x) = x^{4} - 4 (- x^{3}) + 4 {(- x)}^{2}$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

Schritt 2.2.7

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 ({(- 1)}^{2} x^{2})$

Schritt 2.2.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 (1 x^{2})$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Schritt 3

Eine Funktion ist gerade, wenn $f (- x) = f (x)$ .

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Schritt 3.1

Prüfe, ob $f (- x) = f (x)$ .

Schritt 3.2

Da $x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$ $\neq$ $x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$ , ist die Funktion nicht gerade.

Die Funktion ist nicht gerade

Schritt 4

Eine Funktion ist ungerade, wenn $f (- x) = - f (x)$ .

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Schritt 4.1

Ermittle $- f (x)$ .

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$ mit $- 1$ .

$- f (x) = - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2})$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- f (x) = - x^{4} - (- 4 x^{3}) - (4 x^{2})$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$- f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - (4 x^{2})$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2}$

Schritt 4.2

Da $x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$ $\neq$ $- x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2}$ , ist die Funktion nicht ungerade.

Die Funktion ist nicht ungerade

Schritt 5

Die Funktion ist weder ungerade noch gerade

Schritt 6

Da die Funktion nicht ungerade ist, ist sie nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Keine Punktsymmetrie zum Ursprung

Schritt 7

Da die Funktion nicht gerade ist, ist sie nicht zur y-Achse symmetrisch.

Kein Schnittpunkt mit der y-Achse

Schritt 8

Da die Funktion weder ungerade noch gerade ist, gibt es keine Punktsymmetrie zum Ursprung und keine y-Achsensymmetrie.

Funktion ist nicht symmetrisch

Schritt 9