Elementarmathematik Beispiele

$r (x) = \frac{2 x^{2} + 14 x - 36}{x^{2} + x - 12}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \frac{2 x^{2} + 14 x - 36}{x^{2} + x - 12}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x^{2} + 14 x - 36 = 0$

Schritt 1.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 14 x - 36$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) + 14 x - 36 = 0$

Schritt 1.2.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $14 x$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (7 x) - 36 = 0$

Schritt 1.2.2.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$2 x^{2} + 2 (7 x) + 2 \cdot - 18 = 0$

Schritt 1.2.2.1.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (7 x)$ heraus.

$2 (x^{2} + 7 x) + 2 \cdot - 18 = 0$

Schritt 1.2.2.1.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} + 7 x) + 2 \cdot - 18$ heraus.

$2 (x^{2} + 7 x - 18) = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 7 x - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.2.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $7$ ist.

$- 2, 9$

Schritt 1.2.2.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 ((x - 2) (x + 9)) = 0$

Schritt 1.2.2.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x - 2) (x + 9) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 9 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.2.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.2.4

Setze $x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.4.1

Setze $x + 9$ gleich $0$ .

$x + 9 = 0$

Schritt 1.2.2.4.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 1.2.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x - 2) (x + 9) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 9$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(2, 0), (- 9, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 14 (0) - 36}{{(0)}^{2} + 0 - 12}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 14 (0) - 36}{{(0)}^{2} + 0 - 12}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 \cdot 0^{2} + 14 (0) - 36}{{(0)}^{2} + 0 - 12}$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 \cdot 0^{2} + 14 (0) - 36}{0^{2} + 0 - 12}$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 14 (0) - 36}{{(0)}^{2} + 0 - 12}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $\frac{2 {(0)}^{2} + 14 (0) - 36}{{(0)}^{2} + 0 - 12}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{2 \cdot 0 + 14 (0) - 36}{0^{2} + 0 - 12}$

Schritt 2.2.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = \frac{0 + 14 (0) - 36}{0^{2} + 0 - 12}$

Schritt 2.2.5.1.3

Mutltipliziere $14$ mit $0$ .

$y = \frac{0 + 0 - 36}{0^{2} + 0 - 12}$

Schritt 2.2.5.1.4

Addiere $0$ und $0$ .

$y = \frac{0 - 36}{0^{2} + 0 - 12}$

Schritt 2.2.5.1.5

Subtrahiere $36$ von $0$ .

$y = \frac{- 36}{0^{2} + 0 - 12}$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.5.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{- 36}{0 + 0 - 12}$

Schritt 2.2.5.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = \frac{- 36}{0 - 12}$

Schritt 2.2.5.2.3

Subtrahiere $12$ von $0$ .

$y = \frac{- 36}{- 12}$

Schritt 2.2.5.3

Dividiere $- 36$ durch $- 12$ .

$y = 3$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 3)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(2, 0), (- 9, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 3)$

Schritt 4