Elementarmathematik Beispiele

$25 x^{3} + 50 x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(25 x^{3} + 50 x^{2}) - 4 x - 8 = 0$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$25 x^{2} (x + 2) - 4 (x + 2) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 2$ .

$(x + 2) (25 x^{2} - 4) = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $25 x^{2}$ als ${(5 x)}^{2}$ um.

$(x + 2) ({(5 x)}^{2} - 4) = 0$

Schritt 1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x + 2) ({(5 x)}^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere.

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Schritt 1.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5 x$ und $b = 2$ .

$(x + 2) ((5 x + 2) (5 x - 2)) = 0$

Schritt 1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (5 x + 2) (5 x - 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$5 x + 2 = 0$

$5 x - 2 = 0$

Schritt 3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 4

Setze $5 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $5 x + 2$ gleich $0$ .

$5 x + 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse $5 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 2$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 2$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 2$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{5}$

Schritt 5

Setze $5 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $5 x - 2$ gleich $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Schritt 5.2

Löse $5 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 2$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 2$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 2$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (5 x + 2) (5 x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, - \frac{2}{5}, \frac{2}{5}$

Schritt 7