Elementarmathematik Beispiele

$y = 16 x^{4} - 96 x^{3} + 216 x^{2} - 216 x + 81$

Schritt 1

Setze $16 x^{4} - 96 x^{3} + 216 x^{2} - 216 x + 81$ gleich $0$ .

$16 x^{4} - 96 x^{3} + 216 x^{2} - 216 x + 81 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $16 x^{4} - 96 x^{3} + 216 x^{2} - 216 x + 81$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 81, \pm 3, \pm 27, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Schritt 2.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.0625, \pm 0.5, \pm 0.125, \pm 0.25, \pm 81, \pm 5.0625, \pm 40.5, \pm 10.125, \pm 20.25, \pm 3, \pm 0.1875, \pm 1.5, \pm 0.375, \pm 0.75, \pm 27, \pm 1.6875, \pm 13.5, \pm 3.375, \pm 6.75, \pm 9, \pm 0.5625, \pm 4.5, \pm 1.125, \pm 2.25$

Schritt 2.1.1.3

Setze $1.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze $1.5$ in das Polynom ein.

$16 \cdot {1.5}^{4} - 96 \cdot {1.5}^{3} + 216 \cdot {1.5}^{2} - 216 \cdot 1.5 + 81$

Schritt 2.1.1.3.2

Potenziere $1.5$ mit $4$ .

$16 \cdot 5.0625 - 96 \cdot {1.5}^{3} + 216 \cdot {1.5}^{2} - 216 \cdot 1.5 + 81$

Schritt 2.1.1.3.3

Mutltipliziere $16$ mit $5.0625$ .

$81 - 96 \cdot {1.5}^{3} + 216 \cdot {1.5}^{2} - 216 \cdot 1.5 + 81$

Schritt 2.1.1.3.4

Potenziere $1.5$ mit $3$ .

$81 - 96 \cdot 3.375 + 216 \cdot {1.5}^{2} - 216 \cdot 1.5 + 81$

Schritt 2.1.1.3.5

Mutltipliziere $- 96$ mit $3.375$ .

$81 - 324 + 216 \cdot {1.5}^{2} - 216 \cdot 1.5 + 81$

Schritt 2.1.1.3.6

Subtrahiere $324$ von $81$ .

$- 243 + 216 \cdot {1.5}^{2} - 216 \cdot 1.5 + 81$

Schritt 2.1.1.3.7

Potenziere $1.5$ mit $2$ .

$- 243 + 216 \cdot 2.25 - 216 \cdot 1.5 + 81$

Schritt 2.1.1.3.8

Mutltipliziere $216$ mit $2.25$ .

$- 243 + 486 - 216 \cdot 1.5 + 81$

Schritt 2.1.1.3.9

Addiere $- 243$ und $486$ .

$243 - 216 \cdot 1.5 + 81$

Schritt 2.1.1.3.10

Mutltipliziere $- 216$ mit $1.5$ .

$243 - 324 + 81$

Schritt 2.1.1.3.11

Subtrahiere $324$ von $243$ .

$- 81 + 81$

Schritt 2.1.1.3.12

Addiere $- 81$ und $81$ .

$0$

Schritt 2.1.1.4

Da $1.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{16 x^{4} - 96 x^{3} + 216 x^{2} - 216 x + 81}{2 x - 3}$

Schritt 2.1.1.5

Dividiere $16 x^{4} - 96 x^{3} + 216 x^{2} - 216 x + 81$ durch $2 x - 3$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$3$

$16 x^{4}$

$96 x^{3}$

$216 x^{2}$

$216 x$

$81$

Schritt 2.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $16 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

$8 x^{3}$

$2 x$

$3$

$16 x^{4}$

$96 x^{3}$

$216 x^{2}$

$216 x$

$81$

Schritt 2.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$8 x^{3}$

$2 x$

$3$

$16 x^{4}$

$96 x^{3}$

$216 x^{2}$

$216 x$

$81$

$16 x^{4}$

$24 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $16 x^{4} - 24 x^{3}$

$8 x^{3}$

$2 x$

$3$

$16 x^{4}$

$96 x^{3}$

$216 x^{2}$

$216 x$

$81$

$16 x^{4}$

$24 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$8 x^{3}$

$2 x$

$3$

$16 x^{4}$

$96 x^{3}$

$216 x^{2}$

$216 x$

$81$

$16 x^{4}$

$24 x^{3}$

$72 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$8 x^{3}$

$2 x$

$3$

$16 x^{4}$

$96 x^{3}$

$216 x^{2}$

$216 x$

$81$

$16 x^{4}$

$24 x^{3}$

$72 x^{3}$

$216 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 72 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

$8 x^{3}$

$36 x^{2}$

$2 x$

$3$

$16 x^{4}$

$96 x^{3}$

$216 x^{2}$

$216 x$

$81$

$16 x^{4}$

$24 x^{3}$

$72 x^{3}$

$216 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$8 x^{3}$

$36 x^{2}$

$2 x$

$3$

$16 x^{4}$

$96 x^{3}$

$216 x^{2}$

$216 x$

$81$

$16 x^{4}$

$24 x^{3}$

$72 x^{3}$

$216 x^{2}$

$72 x^{3}$

$108 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 72 x^{3} + 108 x^{2}$

$8 x^{3}$

$36 x^{2}$

$2 x$

$3$

$16 x^{4}$

$96 x^{3}$

$216 x^{2}$

$216 x$

$81$

$16 x^{4}$

$24 x^{3}$

$72 x^{3}$

$216 x^{2}$

$72 x^{3}$

$108 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$8 x^{3}$

$36 x^{2}$

$2 x$

$3$

$16 x^{4}$

$96 x^{3}$

$216 x^{2}$

$216 x$

$81$

$16 x^{4}$

$24 x^{3}$

$72 x^{3}$

$216 x^{2}$

$72 x^{3}$

$108 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$8 x^{3}$

$36 x^{2}$

$2 x$

$3$

$16 x^{4}$

$96 x^{3}$

$216 x^{2}$

$216 x$

$81$

$16 x^{4}$

$24 x^{3}$

$72 x^{3}$

$216 x^{2}$

$72 x^{3}$

$108 x^{2}$

$216 x$

Schritt 2.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $108 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

$8 x^{3}$

$36 x^{2}$

$54 x$

$2 x$

$3$

$16 x^{4}$

$96 x^{3}$

$216 x^{2}$

$216 x$

$81$

$16 x^{4}$

$24 x^{3}$

$72 x^{3}$

$216 x^{2}$

$72 x^{3}$

$108 x^{2}$

$216 x$

Schritt 2.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$8 x^{3}$

$36 x^{2}$

$54 x$

$2 x$

$3$

$16 x^{4}$

$96 x^{3}$

$216 x^{2}$

$216 x$

$81$

$16 x^{4}$

$24 x^{3}$

$72 x^{3}$

$216 x^{2}$

$72 x^{3}$

$108 x^{2}$

$216 x$

$108 x^{2}$

$162 x$

Schritt 2.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $108 x^{2} - 162 x$

$8 x^{3}$

$36 x^{2}$

$54 x$

$2 x$

$3$

$16 x^{4}$

$96 x^{3}$

$216 x^{2}$

$216 x$

$81$

$16 x^{4}$

$24 x^{3}$

$72 x^{3}$

$216 x^{2}$

$72 x^{3}$

$108 x^{2}$

$216 x$

$108 x^{2}$

$162 x$

Schritt 2.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$8 x^{3}$

$36 x^{2}$

$54 x$

$2 x$

$3$

$16 x^{4}$

$96 x^{3}$

$216 x^{2}$

$216 x$

$81$

$16 x^{4}$

$24 x^{3}$

$72 x^{3}$

$216 x^{2}$

$72 x^{3}$

$108 x^{2}$

$216 x$

$108 x^{2}$

$162 x$

$54 x$

Schritt 2.1.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$8 x^{3}$

$36 x^{2}$

$54 x$

$2 x$

$3$

$16 x^{4}$

$96 x^{3}$

$216 x^{2}$

$216 x$

$81$

$16 x^{4}$

$24 x^{3}$

$72 x^{3}$

$216 x^{2}$

$72 x^{3}$

$108 x^{2}$

$216 x$

$108 x^{2}$

$162 x$

$54 x$

$81$

Schritt 2.1.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 54 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

$8 x^{3}$

$36 x^{2}$

$54 x$

$27$

$2 x$

$3$

$16 x^{4}$

$96 x^{3}$

$216 x^{2}$

$216 x$

$81$

$16 x^{4}$

$24 x^{3}$

$72 x^{3}$

$216 x^{2}$

$72 x^{3}$

$108 x^{2}$

$216 x$

$108 x^{2}$

$162 x$

$54 x$

$81$

Schritt 2.1.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$8 x^{3}$

$36 x^{2}$

$54 x$

$27$

$2 x$

$3$

$16 x^{4}$

$96 x^{3}$

$216 x^{2}$

$216 x$

$81$

$16 x^{4}$

$24 x^{3}$

$72 x^{3}$

$216 x^{2}$

$72 x^{3}$

$108 x^{2}$

$216 x$

$108 x^{2}$

$162 x$

$54 x$

$81$

$54 x$

$81$

Schritt 2.1.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 54 x + 81$

$8 x^{3}$

$36 x^{2}$

$54 x$

$27$

$2 x$

$3$

$16 x^{4}$

$96 x^{3}$

$216 x^{2}$

$216 x$

$81$

$16 x^{4}$

$24 x^{3}$

$72 x^{3}$

$216 x^{2}$

$72 x^{3}$

$108 x^{2}$

$216 x$

$108 x^{2}$

$162 x$

$54 x$

$81$

$54 x$

$81$

Schritt 2.1.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$8 x^{3}$

$36 x^{2}$

$54 x$

$27$

$2 x$

$3$

$16 x^{4}$

$96 x^{3}$

$216 x^{2}$

$216 x$

$81$

$16 x^{4}$

$24 x^{3}$

$72 x^{3}$

$216 x^{2}$

$72 x^{3}$

$108 x^{2}$

$216 x$

$108 x^{2}$

$162 x$

$54 x$

$81$

$54 x$

$81$

$0$

Schritt 2.1.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 54 x - 27$

Schritt 2.1.1.6

Schreibe $16 x^{4} - 96 x^{3} + 216 x^{2} - 216 x + 81$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x - 3) (8 x^{3} - 36 x^{2} + 54 x - 27) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $8 x^{3} - 36 x^{2} + 54 x - 27$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Schritt 2.1.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.125, \pm 0.5, \pm 0.25, \pm 27, \pm 3.375, \pm 13.5, \pm 6.75, \pm 3, \pm 0.375, \pm 1.5, \pm 0.75, \pm 9, \pm 1.125, \pm 4.5, \pm 2.25$

Schritt 2.1.2.3

Setze $1.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.2.3.1

Setze $1.5$ in das Polynom ein.

$8 \cdot {1.5}^{3} - 36 \cdot {1.5}^{2} + 54 \cdot 1.5 - 27$

Schritt 2.1.2.3.2

Potenziere $1.5$ mit $3$ .

$8 \cdot 3.375 - 36 \cdot {1.5}^{2} + 54 \cdot 1.5 - 27$

Schritt 2.1.2.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $3.375$ .

$27 - 36 \cdot {1.5}^{2} + 54 \cdot 1.5 - 27$

Schritt 2.1.2.3.4

Potenziere $1.5$ mit $2$ .

$27 - 36 \cdot 2.25 + 54 \cdot 1.5 - 27$

Schritt 2.1.2.3.5

Mutltipliziere $- 36$ mit $2.25$ .

$27 - 81 + 54 \cdot 1.5 - 27$

Schritt 2.1.2.3.6

Subtrahiere $81$ von $27$ .

$- 54 + 54 \cdot 1.5 - 27$

Schritt 2.1.2.3.7

Mutltipliziere $54$ mit $1.5$ .

$- 54 + 81 - 27$

Schritt 2.1.2.3.8

Addiere $- 54$ und $81$ .

$27 - 27$

Schritt 2.1.2.3.9

Subtrahiere $27$ von $27$ .

$0$

Schritt 2.1.2.4

Da $1.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{8 x^{3} - 36 x^{2} + 54 x - 27}{2 x - 3}$

Schritt 2.1.2.5

Dividiere $8 x^{3} - 36 x^{2} + 54 x - 27$ durch $2 x - 3$ .

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Schritt 2.1.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$3$

$8 x^{3}$

$36 x^{2}$

$54 x$

$27$

Schritt 2.1.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $8 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$4 x^{2}$
	$2 x$	-	$3$		$8 x^{3}$	-	$36 x^{2}$	+	$54 x$	-	$27$

Schritt 2.1.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$8 x^{3}$	-	$36 x^{2}$	+	$54 x$	-	$27$
			+	$8 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Schritt 2.1.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $8 x^{3} - 12 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$8 x^{3}$	-	$36 x^{2}$	+	$54 x$	-	$27$
			-	$8 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Schritt 2.1.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$8 x^{3}$	-	$36 x^{2}$	+	$54 x$	-	$27$
			-	$8 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$

Schritt 2.1.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$8 x^{3}$	-	$36 x^{2}$	+	$54 x$	-	$27$
			-	$8 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$54 x$

Schritt 2.1.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 24 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$12 x$
$2 x$	-	$3$		$8 x^{3}$	-	$36 x^{2}$	+	$54 x$	-	$27$
			-	$8 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$54 x$

Schritt 2.1.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$	-	$12 x$
$2 x$	-	$3$		$8 x^{3}$	-	$36 x^{2}$	+	$54 x$	-	$27$
			-	$8 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$54 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$

Schritt 2.1.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 24 x^{2} + 36 x$

				$4 x^{2}$	-	$12 x$
$2 x$	-	$3$		$8 x^{3}$	-	$36 x^{2}$	+	$54 x$	-	$27$
			-	$8 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$36 x$

Schritt 2.1.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$	-	$12 x$
$2 x$	-	$3$		$8 x^{3}$	-	$36 x^{2}$	+	$54 x$	-	$27$
			-	$8 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$36 x$
							+	$18 x$

Schritt 2.1.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x^{2}$	-	$12 x$
$2 x$	-	$3$		$8 x^{3}$	-	$36 x^{2}$	+	$54 x$	-	$27$
			-	$8 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$36 x$
							+	$18 x$	-	$27$

Schritt 2.1.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $18 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$12 x$	+	$9$
$2 x$	-	$3$		$8 x^{3}$	-	$36 x^{2}$	+	$54 x$	-	$27$
			-	$8 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$36 x$
							+	$18 x$	-	$27$

Schritt 2.1.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$	-	$12 x$	+	$9$
$2 x$	-	$3$		$8 x^{3}$	-	$36 x^{2}$	+	$54 x$	-	$27$
			-	$8 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$36 x$
							+	$18 x$	-	$27$
							+	$18 x$	-	$27$

Schritt 2.1.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $18 x - 27$

				$4 x^{2}$	-	$12 x$	+	$9$
$2 x$	-	$3$		$8 x^{3}$	-	$36 x^{2}$	+	$54 x$	-	$27$
			-	$8 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$36 x$
							+	$18 x$	-	$27$
							-	$18 x$	+	$27$

Schritt 2.1.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$	-	$12 x$	+	$9$
$2 x$	-	$3$		$8 x^{3}$	-	$36 x^{2}$	+	$54 x$	-	$27$
			-	$8 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$36 x$
							+	$18 x$	-	$27$
							-	$18 x$	+	$27$
										$0$

Schritt 2.1.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$4 x^{2} - 12 x + 9$

Schritt 2.1.2.6

Schreibe $8 x^{3} - 36 x^{2} + 54 x - 27$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x - 3) ((2 x - 3) (4 x^{2} - 12 x + 9)) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.3.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$(2 x - 3) ((2 x - 3) ({(2 x)}^{2} - 12 x + 9)) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(2 x - 3) ((2 x - 3) ({(2 x)}^{2} - 12 x + 3^{2})) = 0$

Schritt 2.1.3.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$12 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 3$

Schritt 2.1.3.4

Schreibe das Polynom neu.

$(2 x - 3) ((2 x - 3) ({(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Schritt 2.1.3.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 2 x$ und $b = 3$ .

$(2 x - 3) ((2 x - 3) {(2 x - 3)}^{2}) = 0$

Schritt 2.1.4

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 2.1.4.1

Potenziere $2 x - 3$ mit $1$ .

$(2 x - 3) ((2 x - 3) {(2 x - 3)}^{2}) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 x - 3) {(2 x - 3)}^{1 + 2} = 0$

Schritt 2.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(2 x - 3) {(2 x - 3)}^{3} = 0$

Schritt 2.1.5

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 2.1.5.1

Potenziere $2 x - 3$ mit $1$ .

$(2 x - 3) {(2 x - 3)}^{3} = 0$

Schritt 2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(2 x - 3)}^{1 + 3} = 0$

Schritt 2.1.5.3

Addiere $1$ und $3$ .

${(2 x - 3)}^{4} = 0$

Schritt 2.2

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3