Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 27 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + x^{4} - 18 x - 27 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $- 2 x^{2}$ aus $- 2 x^{3} + 6 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $- 2 x^{2}$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$- 2 x^{2} x + 6 x^{2} + x^{4} - 18 x - 27 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $- 2 x^{2}$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$- 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 3 + x^{4} - 18 x - 27 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $- 2 x^{2}$ aus $- 2 x^{2} (x) - 2 x^{2} (- 3)$ heraus.

$- 2 x^{2} (x - 3) + x^{4} - 18 x - 27 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x^{4} - 18 x - 27$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.3.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1$

Schritt 1.3.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

Schritt 1.3.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$3^{4} - 18 \cdot 3 - 27$

Schritt 1.3.3.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$81 - 18 \cdot 3 - 27$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $3$ .

$81 - 54 - 27$

Schritt 1.3.3.4

Subtrahiere $54$ von $81$ .

$27 - 27$

Schritt 1.3.3.5

Subtrahiere $27$ von $27$ .

$0$

Schritt 1.3.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 18 x - 27}{x - 3}$

Schritt 1.3.5

Dividiere $x^{4} - 18 x - 27$ durch $x - 3$ .

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Schritt 1.3.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

Schritt 1.3.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

Schritt 1.3.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Schritt 1.3.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} - 3 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Schritt 1.3.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Schritt 1.3.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 1.3.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 1.3.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

Schritt 1.3.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{3} - 9 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

Schritt 1.3.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

Schritt 1.3.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$18 x$

Schritt 1.3.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $9 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$18 x$

Schritt 1.3.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{2}$

$27 x$

Schritt 1.3.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $9 x^{2} - 27 x$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{2}$

$27 x$

Schritt 1.3.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{2}$

$27 x$

$9 x$

Schritt 1.3.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{2}$

$27 x$

$9 x$

$27$

Schritt 1.3.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $9 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$9$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{2}$

$27 x$

$9 x$

$27$

Schritt 1.3.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$9$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{2}$

$27 x$

$9 x$

$27$

$9 x$

$27$

Schritt 1.3.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $9 x - 27$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$9$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{2}$

$27 x$

$9 x$

$27$

$9 x$

$27$

Schritt 1.3.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$9$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{2}$

$27 x$

$9 x$

$27$

$9 x$

$27$

$0$

Schritt 1.3.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 9$

Schritt 1.3.6

Schreibe $x^{4} - 18 x - 27$ als eine Menge von Faktoren.

$- 2 x^{2} (x - 3) + (x - 3) (x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 9) = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $x - 3$ aus $- 2 x^{2} (x - 3) + (x - 3) (x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 9)$ heraus.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $- 2 x^{2} (x - 3)$ heraus.

$(x - 3) (- 2 x^{2}) + (x - 3) (x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 9) = 0$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $x - 3$ aus $(x - 3) (- 2 x^{2}) + (x - 3) (x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 9)$ heraus.

$(x - 3) (- 2 x^{2} + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 9) = 0$

Schritt 1.5

Addiere $- 2 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$(x - 3) (x^{3} + x^{2} + 9 x + 9) = 0$

Schritt 1.6

Faktorisiere.

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Schritt 1.6.1

Schreibe $x^{3} + x^{2} + 9 x + 9$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.6.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.6.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 3) ((x^{3} + x^{2}) + 9 x + 9) = 0$

Schritt 1.6.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 3) (x^{2} (x + 1) + 9 (x + 1)) = 0$

Schritt 1.6.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$(x - 3) ((x + 1) (x^{2} + 9)) = 0$

Schritt 1.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 3) (x + 1) (x^{2} + 9) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

Schritt 3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Schritt 5.2

Löse $x^{2} + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 9$

Schritt 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 5.2.3.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 5.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 5.2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 1) (x^{2} + 9) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 1, 3 i, - 3 i$