Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 16}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{4} - 16}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{4} - 16 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $16$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{4} \geq 16$

Schritt 2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[4]{x^{4}} \geq \sqrt[4]{16}$

Schritt 2.3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \sqrt[4]{16}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $\sqrt[4]{16}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$| x | \geq \sqrt[4]{2^{4}}$

Schritt 2.3.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq | 2 |$

Schritt 2.3.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$| x | \geq 2$

Schritt 2.4

Schreibe $| x | \geq 2$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \geq 2$

Schritt 2.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \geq 2$

Schritt 2.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \geq 2 & x \geq 0 \\ - x \geq 2 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.5

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq 2$ und $x \geq 0$ .

$x \geq 2$

Schritt 2.6

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Teile jeden Term in $- x \geq 2$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{2}{- 1}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{2}{- 1}$

Schritt 2.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{2}{- 1}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.3.1

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$x \leq - 2$

Schritt 2.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - 2$ oder $x \geq 2$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 2, x \geq 2}$

Schritt 4