Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{10 a - 1} = 1 + \sqrt{5 a - 1}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{10 a - 1}}^{2} = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10 a - 1}$ als ${(10 a - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(10 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(10 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(10 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(10 a - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(10 a - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(10 a - 1)}^{1} = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$10 a - 1 = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{5 a - 1}) (1 + \sqrt{5 a - 1})$ um.

$10 a - 1 = (1 + \sqrt{5 a - 1}) (1 + \sqrt{5 a - 1})$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(1 + \sqrt{5 a - 1}) (1 + \sqrt{5 a - 1})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 a - 1 = 1 (1 + \sqrt{5 a - 1}) + \sqrt{5 a - 1} (1 + \sqrt{5 a - 1})$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$10 a - 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} (1 + \sqrt{5 a - 1})$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$10 a - 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} \cdot 1 + \sqrt{5 a - 1} \sqrt{5 a - 1}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$10 a - 1 = 1 + 1 \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} \cdot 1 + \sqrt{5 a - 1} \sqrt{5 a - 1}$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{5 a - 1}$ mit $1$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} \cdot 1 + \sqrt{5 a - 1} \sqrt{5 a - 1}$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{5 a - 1}$ mit $1$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} \sqrt{5 a - 1}$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Multipliziere $\sqrt{5 a - 1} \sqrt{5 a - 1}$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.4.1

Potenziere $\sqrt{5 a - 1}$ mit $1$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {\sqrt{5 a - 1}}^{1} \sqrt{5 a - 1}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{5 a - 1}$ mit $1$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {\sqrt{5 a - 1}}^{1} {\sqrt{5 a - 1}}^{1}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {\sqrt{5 a - 1}}^{1 + 1}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {\sqrt{5 a - 1}}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{5 a - 1}}^{2}$ als $5 a - 1$ um.

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Schritt 2.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 a - 1}$ als ${(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {({(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {(5 a - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {(5 a - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {(5 a - 1)}^{1}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + 5 a - 1$

Schritt 2.3.1.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$10 a - 1 = 0 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + 5 a$

Schritt 2.3.1.3.3

Addiere $0$ und $\sqrt{5 a - 1}$ .

$10 a - 1 = \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + 5 a$

Schritt 2.3.1.3.4

Addiere $\sqrt{5 a - 1}$ und $\sqrt{5 a - 1}$ .

$10 a - 1 = 2 \sqrt{5 a - 1} + 5 a$

Schritt 3

Löse nach $2 \sqrt{5 a - 1}$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 \sqrt{5 a - 1} + 5 a = 10 a - 1$ um.

$2 \sqrt{5 a - 1} + 5 a = 10 a - 1$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $2 \sqrt{5 a - 1}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $5 a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{5 a - 1} = 10 a - 1 - 5 a$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $5 a$ von $10 a$ .

$2 \sqrt{5 a - 1} = 5 a - 1$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{5 a - 1})}^{2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 a - 1}$ als ${(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(2 {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(5 a - 1)}^{1} = {(5 a - 1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinfache.

$4 (5 a - 1) = {(5 a - 1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (5 a) + 4 \cdot - 1 = {(5 a - 1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 5.2.1.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$20 a + 4 \cdot - 1 = {(5 a - 1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$20 a - 4 = {(5 a - 1)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(5 a - 1)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe ${(5 a - 1)}^{2}$ als $(5 a - 1) (5 a - 1)$ um.

$20 a - 4 = (5 a - 1) (5 a - 1)$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $(5 a - 1) (5 a - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$20 a - 4 = 5 a (5 a - 1) - 1 (5 a - 1)$

Schritt 5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$20 a - 4 = 5 a (5 a) + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a - 1)$

Schritt 5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$20 a - 4 = 5 a (5 a) + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$20 a - 4 = 5 \cdot 5 a \cdot a + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.3.1.3.1.2

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.3.1.2.1

Bewege $a$ .

$20 a - 4 = 5 \cdot 5 (a \cdot a) + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$20 a - 4 = 5 \cdot 5 a^{2} + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$20 a - 4 = 25 a^{2} + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$20 a - 4 = 25 a^{2} - 5 a - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$20 a - 4 = 25 a^{2} - 5 a - 5 a - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$20 a - 4 = 25 a^{2} - 5 a - 5 a + 1$

Schritt 5.3.1.3.2

Subtrahiere $5 a$ von $- 5 a$ .

$20 a - 4 = 25 a^{2} - 10 a + 1$

Schritt 6

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 6.1

Da $a$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$25 a^{2} - 10 a + 1 = 20 a - 4$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die $a$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $20 a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 a^{2} - 10 a + 1 - 20 a = - 4$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $20 a$ von $- 10 a$ .

$25 a^{2} - 30 a + 1 = - 4$

Schritt 6.3

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$25 a^{2} - 30 a + 1 + 4 = 0$

Schritt 6.4

Addiere $1$ und $4$ .

$25 a^{2} - 30 a + 5 = 0$

Schritt 6.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $5$ aus $25 a^{2} - 30 a + 5$ heraus.

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Schritt 6.5.1.1

Faktorisiere $5$ aus $25 a^{2}$ heraus.

$5 (5 a^{2}) - 30 a + 5 = 0$

Schritt 6.5.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 30 a$ heraus.

$5 (5 a^{2}) + 5 (- 6 a) + 5 = 0$

Schritt 6.5.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$5 (5 a^{2}) + 5 (- 6 a) + 5 (1) = 0$

Schritt 6.5.1.4

Faktorisiere $5$ aus $5 (5 a^{2}) + 5 (- 6 a)$ heraus.

$5 (5 a^{2} - 6 a) + 5 (1) = 0$

Schritt 6.5.1.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (5 a^{2} - 6 a) + 5 (1)$ heraus.

$5 (5 a^{2} - 6 a + 1) = 0$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.5.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.5.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 1 = 5$ und deren Summe gleich $b = - 6$ ist.

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Schritt 6.5.2.1.1.1

Faktorisiere $- 6$ aus $- 6 a$ heraus.

$5 (5 a^{2} - 6 a + 1) = 0$

Schritt 6.5.2.1.1.2

Schreibe $- 6$ um als $- 1$ plus $- 5$

$5 (5 a^{2} + (- 1 - 5) a + 1) = 0$

Schritt 6.5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (5 a^{2} - 1 a - 5 a + 1) = 0$

Schritt 6.5.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.5.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$5 ((5 a^{2} - 1 a) - 5 a + 1) = 0$

Schritt 6.5.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$5 (a (5 a - 1) - (5 a - 1)) = 0$

Schritt 6.5.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 a - 1$ .

$5 ((5 a - 1) (a - 1)) = 0$

Schritt 6.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$5 (5 a - 1) (a - 1) = 0$

Schritt 6.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 a - 1 = 0$

$a - 1 = 0$

Schritt 6.7

Setze $5 a - 1$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 6.7.1

Setze $5 a - 1$ gleich $0$ .

$5 a - 1 = 0$

Schritt 6.7.2

Löse $5 a - 1 = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 6.7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 a = 1$

Schritt 6.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 a = 1$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 6.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 a = 1$ durch $5$ .

$\frac{5 a}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 6.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 a}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 6.7.2.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{1}{5}$

Schritt 6.8

Setze $a - 1$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 6.8.1

Setze $a - 1$ gleich $0$ .

$a - 1 = 0$

Schritt 6.8.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = 1$

Schritt 6.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $5 (5 a - 1) (a - 1) = 0$ wahr machen.

$a = \frac{1}{5}, 1$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$a = \frac{1}{5}, 1$

Dezimalform:

$a = 0.2, 1$