Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{27} = b^{- 3}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $b^{- 3} = \frac{1}{27}$ um.

$b^{- 3} = \frac{1}{27}$

Schritt 2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{b^{3}} = \frac{1}{27}$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$1 \cdot 27 = b^{3} \cdot 1$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $b$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $b^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 27$ um.

$b^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 27$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $b^{3}$ mit $1$ .

$b^{3} = 1 \cdot 27$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $27$ mit $1$ .

$b^{3} = 27$

Schritt 4.4

Subtrahiere $27$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b^{3} - 27 = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.5.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$b^{3} - 3^{3} = 0$

Schritt 4.5.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = b$ und $b = 3$ .

$(b - 3) (b^{2} + b \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 4.5.3

Vereinfache.

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Schritt 4.5.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $b$ .

$(b - 3) (b^{2} + 3 b + 3^{2}) = 0$

Schritt 4.5.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(b - 3) (b^{2} + 3 b + 9) = 0$

Schritt 4.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$b - 3 = 0$

$b^{2} + 3 b + 9 = 0$

Schritt 4.7

Setze $b - 3$ gleich $0$ und löse nach $b$ auf.

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Schritt 4.7.1

Setze $b - 3$ gleich $0$ .

$b - 3 = 0$

Schritt 4.7.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$b = 3$

Schritt 4.8

Setze $b^{2} + 3 b + 9$ gleich $0$ und löse nach $b$ auf.

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Schritt 4.8.1

Setze $b^{2} + 3 b + 9$ gleich $0$ .

$b^{2} + 3 b + 9 = 0$

Schritt 4.8.2

Löse $b^{2} + 3 b + 9 = 0$ nach $b$ auf.

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Schritt 4.8.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.8.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $b$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.8.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.8.2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Schritt 4.8.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.1.3

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.1.4

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$b = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.1.7

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.8.2.3.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$b = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$b = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$b = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.8.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$b = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(b - 3) (b^{2} + 3 b + 9) = 0$ wahr machen.

$b = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$