Elementarmathematik Beispiele

\frac{1}{27} = b^{- 3}

$\frac{1}{27} = b^{- 3}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als

b^{- 3} = \frac{1}{27}

$b^{- 3} = \frac{1}{27}$ um.

b^{- 3} = \frac{1}{27}

$b^{- 3} = \frac{1}{27}$

Schritt 2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

\frac{1}{b^{3}} = \frac{1}{27}

$\frac{1}{b^{3}} = \frac{1}{27}$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

1 \cdot 27 = b^{3} \cdot 1

$1 \cdot 27 = b^{3} \cdot 1$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach

b

$b$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als

b^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 27

$b^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 27$ um.

b^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 27

$b^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 27$

Schritt 4.2

Mutltipliziere

b^{3}

$b^{3}$ mit

1

$1$ .

b^{3} = 1 \cdot 27

$b^{3} = 1 \cdot 27$

Schritt 4.3

Mutltipliziere

27

$27$ mit

1

$1$ .

b^{3} = 27

$b^{3} = 27$

Schritt 4.4

Subtrahiere

27

$27$ von beiden Seiten der Gleichung.

b^{3} - 27 = 0

$b^{3} - 27 = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Schreibe

27

$27$ als

3^{3}

$3^{3}$ um.

b^{3} - 3^{3} = 0

$b^{3} - 3^{3} = 0$

Schritt 4.5.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme,

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit

a = b

$a = b$ und

b = 3

$b = 3$ .

(b - 3) (b^{2} + b \cdot 3 + 3^{2}) = 0

$(b - 3) (b^{2} + b \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 4.5.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.3.1

Bringe

3

$3$ auf die linke Seite von

b

$b$ .

(b - 3) (b^{2} + 3 b + 3^{2}) = 0

$(b - 3) (b^{2} + 3 b + 3^{2}) = 0$

Schritt 4.5.3.2

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

(b - 3) (b^{2} + 3 b + 9) = 0

$(b - 3) (b^{2} + 3 b + 9) = 0$

(b - 3) (b^{2} + 3 b + 9) = 0

$(b - 3) (b^{2} + 3 b + 9) = 0$

(b - 3) (b^{2} + 3 b + 9) = 0

$(b - 3) (b^{2} + 3 b + 9) = 0$

Schritt 4.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

b - 3 = 0

$b - 3 = 0$

b^{2} + 3 b + 9 = 0

$b^{2} + 3 b + 9 = 0$

Schritt 4.7

Setze

b - 3

$b - 3$ gleich

0

$0$ und löse nach

b

$b$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Setze

b - 3

$b - 3$ gleich

0

$0$ .

b - 3 = 0

$b - 3 = 0$

Schritt 4.7.2

Addiere

3

$3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

b = 3

$b = 3$

b = 3

$b = 3$

Schritt 4.8

Setze

b^{2} + 3 b + 9

$b^{2} + 3 b + 9$ gleich

0

$0$ und löse nach

b

$b$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1

Setze

b^{2} + 3 b + 9

$b^{2} + 3 b + 9$ gleich

0

$0$ .

b^{2} + 3 b + 9 = 0

$b^{2} + 3 b + 9 = 0$

Schritt 4.8.2

Löse

b^{2} + 3 b + 9 = 0

$b^{2} + 3 b + 9 = 0$ nach

b

$b$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.8.2.2

Setze die Werte

a = 1

$a = 1$ ,

b = 3

$b = 3$ und

c = 9

$c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach

b

$b$ auf.

\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.2.3.1.1

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

b = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.1.2

Multipliziere

- 4 \cdot 1 \cdot 9

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.2.3.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

b = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.1.2.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

9

$9$ .

b = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

b = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.1.3

Subtrahiere

36

$36$ von

9

$9$ .

b = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.1.4

Schreibe

- 27

$- 27$ als

- 1 (27)

$- 1 (27)$ um.

b = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.1.5

Schreibe

\sqrt{- 1 (27)}

$\sqrt{- 1 (27)}$ als

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.1.6

Schreibe

$\sqrt{- 1}$ als

$i$ um.

$b = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.1.7

Schreibe

$27$ als

$3^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.2.3.1.7.1

Faktorisiere

$9$ aus

$27$ heraus.

$b = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.1.7.2

Schreibe

$9$ als

$3^{2}$ um.

$b = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$b = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.1.9

Bringe

$3$ auf die linke Seite von

$i$ .

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.8.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$b = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$(b - 3) (b^{2} + 3 b + 9) = 0$ wahr machen.

$b = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$