Elementarmathematik Beispiele

$S = π \sqrt{r^{2} + h^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $π \sqrt{r^{2} + h^{2}} = S$ um.

$π \sqrt{r^{2} + h^{2}} = S$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $π \sqrt{r^{2} + h^{2}} = S$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $π \sqrt{r^{2} + h^{2}} = S$ durch $π$ .

$\frac{π \sqrt{r^{2} + h^{2}}}{π} = \frac{S}{π}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π \sqrt{r^{2} + h^{2}}}{π} = \frac{S}{π}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sqrt{r^{2} + h^{2}}$ durch $1$ .

$\sqrt{r^{2} + h^{2}} = \frac{S}{π}$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{r^{2} + h^{2}}}^{2} = {(\frac{S}{π})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{r^{2} + h^{2}}$ als ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{S}{π})}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{S}{π})}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{S}{π})}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(r^{2} + h^{2})}^{1} = {(\frac{S}{π})}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache.

$r^{2} + h^{2} = {(\frac{S}{π})}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{S}{π}$ an.

$r^{2} + h^{2} = \frac{S^{2}}{π^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $h^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} = \frac{S^{2}}{π^{2}} - h^{2}$

Schritt 5.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$r = \pm \sqrt{\frac{S^{2}}{π^{2}} - h^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{S^{2}}{π^{2}} - h^{2}}$ .

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Schritt 5.3.1

Schreibe $\frac{S^{2}}{π^{2}}$ als ${(\frac{S}{π})}^{2}$ um.

$r = \pm \sqrt{{(\frac{S}{π})}^{2} - h^{2}}$

Schritt 5.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{S}{π}$ und $b = h$ .

$r = \pm \sqrt{(\frac{S}{π} + h) (\frac{S}{π} - h)}$

Schritt 5.3.3

Um $h$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{π}{π}$ .

$r = \pm \sqrt{(\frac{S}{π} + \frac{h π}{π}) (\frac{S}{π} - h)}$

Schritt 5.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r = \pm \sqrt{\frac{S + h π}{π} (\frac{S}{π} - h)}$

Schritt 5.3.5

Um $- h$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{π}{π}$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{S + h π}{π} (\frac{S}{π} - h \cdot \frac{π}{π})}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.6.1

Kombiniere $- h$ und $\frac{π}{π}$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{S + h π}{π} (\frac{S}{π} + \frac{- h π}{π})}$

Schritt 5.3.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r = \pm \sqrt{\frac{S + h π}{π} \cdot \frac{S - h π}{π}}$

Schritt 5.3.6.3

Mutltipliziere $\frac{S + h π}{π}$ mit $\frac{S - h π}{π}$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{(S + h π) (S - h π)}{π π}}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.7.1

Potenziere $π$ mit $1$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{(S + h π) (S - h π)}{π^{1} π}}$

Schritt 5.3.7.2

Potenziere $π$ mit $1$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{(S + h π) (S - h π)}{π^{1} π^{1}}}$

Schritt 5.3.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r = \pm \sqrt{\frac{(S + h π) (S - h π)}{π^{1 + 1}}}$

Schritt 5.3.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{(S + h π) (S - h π)}{π^{2}}}$

Schritt 5.3.8

Schreibe $\frac{(S + h π) (S - h π)}{π^{2}}$ als ${(\frac{1}{π})}^{2} ((S + h π) (S - h π))$ um.

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Schritt 5.3.8.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(S + h π) (S - h π)$ heraus.

$r = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((S + h π) (S - h π))}{π^{2}}}$

Schritt 5.3.8.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $π^{2}$ aus $π^{2}$ heraus.

$r = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((S + h π) (S - h π))}{π^{2} \cdot 1}}$

Schritt 5.3.8.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((S + h π) (S - h π))}{π^{2} \cdot 1}$ um.

$r = \pm \sqrt{{(\frac{1}{π})}^{2} ((S + h π) (S - h π))}$

Schritt 5.3.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \pm \frac{1}{π} \sqrt{(S + h π) (S - h π)}$

Schritt 5.3.10

Kombiniere $\frac{1}{π}$ und $\sqrt{(S + h π) (S - h π)}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

Schritt 5.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

Schritt 5.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

Schritt 5.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

$r = - \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

$r = \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

$r = - \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

$r = \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

$r = - \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$